Номер 25.5, страница 122 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

25.5. Найдите сумму целых решений неравенства $f'(x) + g'(x) \le 0$, если $f(x)=2x^3+12x^2$ и $g(x)=9x^2+72x$.

Для решения задачи сначала найдем производные функций $f(x)$ и $g(x)$.

1. Производная функции $f(x) = 2x^3 + 12x^2$ находится по правилам дифференцирования:

$f'(x) = (2x^3)' + (12x^2)' = 2 \cdot 3x^{3-1} + 12 \cdot 2x^{2-1} = 6x^2 + 24x$.

2. Аналогично находим производную функции $g(x) = 9x^2 + 72x$:

$g'(x) = (9x^2)' + (72x)' = 9 \cdot 2x^{2-1} + 72 \cdot 1x^{1-1} = 18x + 72$.

3. Теперь подставим найденные производные в исходное неравенство $f'(x) + g'(x) \le 0$:

$(6x^2 + 24x) + (18x + 72) \le 0$

Приведем подобные слагаемые:

$6x^2 + 42x + 72 \le 0$

4. Для решения полученного квадратного неравенства разделим все его члены на 6 (поскольку 6 > 0, знак неравенства не меняется):

$x^2 + 7x + 12 \le 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 7x + 12 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $-7$, а их произведение равно $12$. Отсюда корни:

$x_1 = -4$

$x_2 = -3$

Графиком функции $y = x^2 + 7x + 12$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции не положительны ($y \le 0$) на отрезке между корнями.

Таким образом, решением неравенства является отрезок $x \in [-4; -3]$.

5. Нам нужно найти сумму целых решений. Целые числа, входящие в отрезок $[-4; -3]$, это $-4$ и $-3$.

Сумма этих решений:

$-4 + (-3) = -7$.

25.5. Ответ: -7