Номер 24.1, страница 120 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

24.1. Для функции $f(x) = -\frac{4}{x}$ найдите:

а) приращение функции при переходе от $x_0$ к $x_0 + \Delta x$;

б) приращение функции, если $x_0 = -2$; $\Delta x = 0,5$;

в) отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$;

г) к чему стремится отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$, если $\Delta x$ стремится к нулю;

д) производную функции;

е) производную функции в точке $x = 3$.

а) приращение функции при переходе от $x_0$ к $x_0 + \Delta x$:
Приращение функции $\Delta f$ по определению равно разности значений функции в конечной и начальной точках:
$\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$
Для заданной функции $f(x) = -\frac{4}{x}$ имеем:
$f(x_0 + \Delta x) = -\frac{4}{x_0 + \Delta x}$
$f(x_0) = -\frac{4}{x_0}$
Тогда приращение функции равно:
$\Delta f = \left(-\frac{4}{x_0 + \Delta x}\right) - \left(-\frac{4}{x_0}\right) = \frac{4}{x_0} - \frac{4}{x_0 + \Delta x}$
Приводя дроби к общему знаменателю $x_0(x_0 + \Delta x)$, получаем:
$\Delta f = \frac{4(x_0 + \Delta x) - 4x_0}{x_0(x_0 + \Delta x)} = \frac{4x_0 + 4\Delta x - 4x_0}{x_0(x_0 + \Delta x)} = \frac{4\Delta x}{x_0(x_0 + \Delta x)}$
Ответ: $\Delta f = \frac{4\Delta x}{x_0(x_0 + \Delta x)}$.

б) приращение функции, если $x_0 = -2; \Delta x = 0,5$:
Воспользуемся формулой для приращения функции, полученной в предыдущем пункте, и подставим в нее заданные значения $x_0 = -2$ и $\Delta x = 0,5$:
$\Delta f = \frac{4\Delta x}{x_0(x_0 + \Delta x)} = \frac{4 \cdot 0,5}{-2(-2 + 0,5)} = \frac{2}{-2(-1,5)} = \frac{2}{3}$
Ответ: $\frac{2}{3}$.

в) отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$:
Отношение приращения функции к приращению аргумента находится путем деления выражения для $\Delta f$ на $\Delta x$. Для произвольной точки $x$ приращение функции равно $\Delta f = \frac{4\Delta x}{x(x + \Delta x)}$.
$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{1}{\Delta x} \cdot \Delta f = \frac{1}{\Delta x} \cdot \frac{4\Delta x}{x(x + \Delta x)}$
При $\Delta x \neq 0$ можно сократить дробь:
$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{4}{x(x + \Delta x)}$
Ответ: $\frac{4}{x(x + \Delta x)}$.

г) к чему стремится отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$, если $\Delta x$ стремится к нулю:
Это задание требует найти предел отношения $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ при $\Delta x \to 0$. Используем выражение, полученное в пункте в):
$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{4}{x(x + \Delta x)}$
Поскольку функция непрерывна в точке $x$ (при $x \neq 0$), мы можем подставить предельное значение $\Delta x = 0$ в выражение:
$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{4}{x(x + \Delta x)} = \frac{4}{x(x + 0)} = \frac{4}{x^2}$
Ответ: $\frac{4}{x^2}$.

д) производную функции:
Производная функции $f'(x)$ по определению — это предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю. Этот предел был вычислен в пункте г):
$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{4}{x^2}$
Проверим результат, используя стандартные правила дифференцирования. Представим функцию в виде $f(x) = -4x^{-1}$:
$f'(x) = (-4x^{-1})' = -4 \cdot (-1)x^{-1-1} = 4x^{-2} = \frac{4}{x^2}$
Результаты совпадают.
Ответ: $f'(x) = \frac{4}{x^2}$.

е) производную функции в точке $x = 3$:
Чтобы найти значение производной в конкретной точке, нужно подставить значение $x=3$ в выражение для производной $f'(x)$, найденное в пункте д):
$f'(x) = \frac{4}{x^2}$
$f'(3) = \frac{4}{3^2} = \frac{4}{9}$
Ответ: $\frac{4}{9}$.