Номер 23.22, страница 119 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

23.22. Найдите все значения числа a, при которых равносильны неравенства:

а) $(x-a)\sqrt{x-2} > 0$ и $x > a;

б) $(x-2)\sqrt{x-a} > 0$ и $x > a.

а) Два неравенства $(x - a)\sqrt{x - 2} > 0$ и $x > a$ называются равносильными, если множества их решений совпадают.

Найдем множество решений первого неравенства $(x - a)\sqrt{x - 2} > 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется подкоренным выражением: $x - 2 \ge 0$, откуда $x \ge 2$.

Поскольку неравенство строгое, левая часть не может быть равна нулю. Это означает, что $x - 2 \ne 0$, то есть $x \ne 2$. Таким образом, ОДЗ уточняется до $x > 2$.

На интервале $x > 2$ множитель $\sqrt{x - 2}$ всегда строго положителен. Следовательно, для того чтобы произведение было положительным, необходимо, чтобы и второй множитель был положителен:

$x - a > 0$

$x > a$

Таким образом, решение первого неравенства является решением системы:

$\begin{cases} x > 2 \\ x > a \end{cases}$

Решением этой системы является $x > \max(2, a)$. Итак, множество решений первого неравенства - это интервал $(\max(2, a), \infty)$.

Множество решений второго неравенства $x > a$ - это интервал $(a, \infty)$.

Для того чтобы неравенства были равносильны, их множества решений должны совпадать:

$(\max(2, a), \infty) = (a, \infty)$

Это равенство выполняется тогда и только тогда, когда $\max(2, a) = a$.

Условие $\max(2, a) = a$ истинно, если $a \ge 2$.

Ответ: $a \in [2, \infty)$.

б) Найдем все значения числа $a$, при которых равносильны неравенства $(x - 2)\sqrt{x - a} > 0$ и $x > a$.

Найдем множество решений первого неравенства $(x - 2)\sqrt{x - a} > 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется подкоренным выражением: $x - a \ge 0$, откуда $x \ge a$.

Так как неравенство строгое, $x - a \ne 0$, то есть $x > a$.

На интервале $x > a$ множитель $\sqrt{x - a}$ всегда строго положителен. Следовательно, для того чтобы произведение было положительным, необходимо, чтобы и второй множитель был положителен:

$x - 2 > 0$

$x > 2$

Таким образом, решение первого неравенства является решением системы:

$\begin{cases} x > a \\ x > 2 \end{cases}$

Решением этой системы является $x > \max(a, 2)$. Множество решений первого неравенства - это интервал $(\max(a, 2), \infty)$.

Множество решений второго неравенства $x > a$ - это интервал $(a, \infty)$.

Для равносильности неравенств их множества решений должны совпадать:

$(\max(a, 2), \infty) = (a, \infty)$

Это равенство выполняется тогда и только тогда, когда $\max(a, 2) = a$.

Условие $\max(a, 2) = a$ истинно, если $a \ge 2$.

Ответ: $a \in [2, \infty)$.