Номер 23.15, страница 118 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

23.15. Решите неравенство:

а) $\sqrt{x-6} - \sqrt{x+10} \le 1;$

б) $\sqrt{2x-1} + \sqrt{x+3} < 3;$

в) $\sqrt{x+7} - 1 \ge \sqrt{x};$

г) $3\sqrt{x+3} - \sqrt{x-2} > 7.$

а) $\sqrt{x-6} - \sqrt{x+10} \le 1$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} x - 6 \ge 0 \\ x + 10 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 6 \\ x \ge -10 \end{cases}$

Пересечением этих условий является $x \ge 6$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [6, +\infty)$.

2. Проанализируем неравенство на ОДЗ. Для любого $x \ge 6$ выполняется $x-6 < x+10$, следовательно, $\sqrt{x-6} < \sqrt{x+10}$.

Это означает, что левая часть неравенства, $\sqrt{x-6} - \sqrt{x+10}$, всегда отрицательна.

3. Так как любое отрицательное число всегда меньше или равно 1, то исходное неравенство $\sqrt{x-6} - \sqrt{x+10} \le 1$ выполняется для всех значений $x$ из области допустимых значений.

Ответ: $x \in [6, +\infty)$.

б) $\sqrt{2x-1} + \sqrt{x+3} < 3$

1. Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 2x - 1 \ge 0 \\ x + 3 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge \frac{1}{2} \\ x \ge -3 \end{cases}$

Пересечением является $x \ge \frac{1}{2}$. ОДЗ: $x \in [\frac{1}{2}, +\infty)$.

2. На ОДЗ левая часть неравенства неотрицательна. Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt{2x-1} + \sqrt{x+3}$. Эта функция является возрастающей на своей области определения как сумма двух возрастающих функций. Решим уравнение $f(x) = 3$, чтобы найти граничное значение.

$\sqrt{2x-1} + \sqrt{x+3} = 3$

Возведем обе части в квадрат:

$(2x-1) + 2\sqrt{(2x-1)(x+3)} + (x+3) = 9$

$3x + 2 + 2\sqrt{2x^2+5x-3} = 9$

$2\sqrt{2x^2+5x-3} = 7 - 3x$

Правая часть должна быть неотрицательной: $7 - 3x \ge 0 \implies 3x \le 7 \implies x \le \frac{7}{3}$. С учетом ОДЗ, ищем решения на отрезке $[\frac{1}{2}, \frac{7}{3}]$.

Возведем обе части последнего уравнения в квадрат:

$4(2x^2+5x-3) = (7-3x)^2$

$8x^2+20x-12 = 49 - 42x + 9x^2$

$x^2 - 62x + 61 = 0$

Корни этого уравнения: $x_1 = 1, x_2 = 61$.

Корень $x_2=61$ не удовлетворяет условию $x \le \frac{7}{3}$. Корень $x_1=1$ удовлетворяет условию $1 \le \frac{7}{3}$.

3. Так как функция $f(x)$ возрастающая и $f(1)=3$, то неравенство $f(x) < 3$ выполняется при $x < 1$.

4. Учитывая ОДЗ ($x \ge \frac{1}{2}$), получаем решение: $\frac{1}{2} \le x < 1$.

Ответ: $x \in [\frac{1}{2}, 1)$.

в) $\sqrt{x+7} - 1 \ge \sqrt{x}$

1. Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x+7 \ge 0 \\ x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -7 \\ x \ge 0 \end{cases}$

ОДЗ: $x \in [0, +\infty)$.

2. Перенесем $-1$ в правую часть, чтобы обе части стали неотрицательными:

$\sqrt{x+7} \ge \sqrt{x} + 1$

На ОДЗ обе части неравенства неотрицательны, поэтому можно возвести их в квадрат:

$(\sqrt{x+7})^2 \ge (\sqrt{x}+1)^2$

$x+7 \ge x + 2\sqrt{x} + 1$

$6 \ge 2\sqrt{x}$

$3 \ge \sqrt{x}$

3. Обе части этого неравенства также неотрицательны, снова возводим в квадрат:

$9 \ge x$, или $x \le 9$.

4. Пересекая полученное решение с ОДЗ ($x \ge 0$), получаем итоговый ответ: $0 \le x \le 9$.

Ответ: $x \in [0, 9]$.

г) $3\sqrt{x+3} - \sqrt{x-2} > 7$

1. Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x+3 \ge 0 \\ x-2 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -3 \\ x \ge 2 \end{cases}$

ОДЗ: $x \in [2, +\infty)$.

2. Перепишем неравенство в виде $3\sqrt{x+3} > 7 + \sqrt{x-2}$. На ОДЗ обе части неравенства положительны, можем возвести в квадрат:

$(3\sqrt{x+3})^2 > (7 + \sqrt{x-2})^2$

$9(x+3) > 49 + 14\sqrt{x-2} + (x-2)$

$9x + 27 > x + 47 + 14\sqrt{x-2}$

$8x - 20 > 14\sqrt{x-2}$

$4x - 10 > 7\sqrt{x-2}$

3. Левая часть $4x-10$ должна быть положительной, так как она больше положительной правой части. $4x-10 > 0 \implies 4x > 10 \implies x > \frac{10}{4} \implies x > \frac{5}{2}$.

С учетом ОДЗ, мы ищем решение при $x > \frac{5}{2}$. В этом случае обе части неравенства положительны, и мы можем снова возвести их в квадрат:

$(4x-10)^2 > (7\sqrt{x-2})^2$

$16x^2 - 80x + 100 > 49(x-2)$

$16x^2 - 80x + 100 > 49x - 98$

$16x^2 - 129x + 198 > 0$

4. Найдем корни квадратного трехчлена $16x^2 - 129x + 198 = 0$.

Дискриминант $\Delta = (-129)^2 - 4 \cdot 16 \cdot 198 = 16641 - 12672 = 3969 = 63^2$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{129 \pm 63}{32}$.

$x_1 = \frac{129-63}{32} = \frac{66}{32} = \frac{33}{16} = \textbf{2}\frac{1}{16}$.

$x_2 = \frac{129+63}{32} = \frac{192}{32} = 6$.

5. Неравенство $16x^2 - 129x + 198 > 0$ выполняется при $x < \frac{33}{16}$ или $x > 6$, так как ветви параболы направлены вверх.

6. Объединим все условия: $\begin{cases} x \ge 2 \text{ (ОДЗ)} \\ x > \frac{5}{2} \\ x < \frac{33}{16} \text{ или } x > 6 \end{cases}$

Так как $\frac{5}{2} = 2.5$, а $\frac{33}{16} = 2.0625$, то условие $x > \frac{5}{2}$ и $x < \frac{33}{16}$ несовместимы.

Остается система: $\begin{cases} x > \frac{5}{2} \\ x > 6 \end{cases}$, решением которой является $x > 6$.

Ответ: $x \in (6, +\infty)$.