Номер 23.9, страница 117 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

23.9. Найдите все значения аргумента, при которых:

а) график функции $y = \sqrt{x^2 - 3x}$ расположен ниже прямой $y = 5 - x$;

б) график функции $y = 4 - x$ расположен не ниже графика функции $y = \sqrt{4x - x^2}$.

а) Условие, что график функции $y=\sqrt{x^2-3x}$ расположен ниже прямой $y=5-x$, равносильно неравенству $\sqrt{x^2-3x} < 5-x$.

Данное иррациональное неравенство вида $\sqrt{f(x)} < g(x)$ эквивалентно системе неравенств:

$\begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) > 0 \\ f(x) < (g(x))^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x^2 - 3x \ge 0 \\ 5 - x > 0 \\ x^2 - 3x < (5-x)^2 \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы по отдельности:

1. $x^2 - 3x \ge 0 \implies x(x-3) \ge 0$. Решением является объединение промежутков $x \in (-\infty, 0] \cup [3, \infty)$.

2. $5 - x > 0 \implies x < 5$. Решением является промежуток $x \in (-\infty, 5)$.

3. $x^2 - 3x < (5-x)^2 \implies x^2 - 3x < 25 - 10x + x^2 \implies 7x < 25 \implies x < \frac{25}{7}$.

Теперь найдём пересечение решений всех трех неравенств. На числовой оси это будет пересечение множеств $(-\infty, 0] \cup [3, \infty)$, $(-\infty, 5)$ и $(-\infty, \frac{25}{7})$.

Так как $\frac{25}{7} = 3\frac{4}{7}$ и $3 < 3\frac{4}{7} < 5$, то пересечение множеств $(-\infty, 5)$ и $(-\infty, \frac{25}{7})$ есть $(-\infty, \frac{25}{7})$.

Остаётся найти пересечение $((-\infty, 0] \cup [3, \infty)) \cap (-\infty, \frac{25}{7})$.

Это даёт нам $x \in (-\infty, 0] \cup [3, \frac{25}{7})$.

а) Ответ: $x \in (-\infty, 0] \cup [3, \mathbf{3}\frac{4}{7})$.

б) Условие, что график функции $y=4-x$ расположен не ниже графика функции $y=\sqrt{4x-x^2}$, равносильно неравенству $4-x \ge \sqrt{4x-x^2}$.

Данное иррациональное неравенство вида $g(x) \ge \sqrt{f(x)}$ эквивалентно системе неравенств:

$\begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) \ge 0 \\ (g(x))^2 \ge f(x) \end{cases} \implies \begin{cases} 4x - x^2 \ge 0 \\ 4 - x \ge 0 \\ (4-x)^2 \ge 4x - x^2 \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы по отдельности:

1. $4x - x^2 \ge 0 \implies x(4-x) \ge 0$. Решением является отрезок $x \in [0, 4]$.

2. $4 - x \ge 0 \implies x \le 4$. Решением является промежуток $x \in (-\infty, 4]$.

3. $(4-x)^2 \ge 4x - x^2 \implies 16 - 8x + x^2 \ge 4x - x^2 \implies 2x^2 - 12x + 16 \ge 0$. Разделив на 2, получаем $x^2 - 6x + 8 \ge 0$. Корнями уравнения $x^2 - 6x + 8 = 0$ являются $x_1=2$ и $x_2=4$. Следовательно, решением неравенства является объединение промежутков $x \in (-\infty, 2] \cup [4, \infty)$.

Найдём пересечение решений всех трех неравенств: $x \in [0, 4] \cap (-\infty, 4] \cap ((-\infty, 2] \cup [4, \infty))$.

Пересечение $[0, 4]$ и $(-\infty, 4]$ даёт отрезок $[0, 4]$.

Далее, найдём пересечение $[0, 4] \cap ((-\infty, 2] \cup [4, \infty))$, что равно $([0, 4] \cap (-\infty, 2]) \cup ([0, 4] \cap [4, \infty))$.

Первое пересечение даёт отрезок $[0, 2]$, второе — точку $\{4\}$.

Таким образом, итоговое решение представляет собой объединение отрезка и точки.

б) Ответ: $x \in [0, 2] \cup \{4\}$.