Номер 23.2, страница 116 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

23.2. Решите неравенство:

a) $\sqrt{x-5} > -2;$

б) $\sqrt[8]{x+2} \ge -1;$

в) $\sqrt{6-x} > 0;$

г) $\sqrt[4]{5x+1} \ge 0.$

а)

Дано неравенство $\sqrt{x-5} > -2$.

По определению, арифметический квадратный корень $\sqrt{A}$ принимает только неотрицательные значения, то есть $\sqrt{x-5} \ge 0$ для всех $x$ из области определения.

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного неравенства определяется условием, что выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$x - 5 \ge 0$

$x \ge 5$

Так как любое неотрицательное число всегда больше любого отрицательного числа, неравенство $\sqrt{x-5} > -2$ будет верным для всех значений $x$, при которых левая часть определена.

Следовательно, решением неравенства является его область определения.

Ответ: $x \ge 5$.

б)

Дано неравенство $\sqrt[8]{x+2} \ge -1$.

Корень четной степени (в данном случае 8-й степени) по определению является неотрицательной величиной. То есть, $\sqrt[8]{x+2} \ge 0$ для всех $x$ из области определения.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ), потребовав, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:

$x + 2 \ge 0$

$x \ge -2$

Поскольку $\sqrt[8]{x+2}$ всегда неотрицательно, а любое неотрицательное число больше или равно -1, то неравенство $\sqrt[8]{x+2} \ge -1$ выполняется для всех $x$ из области определения.

Таким образом, решение неравенства совпадает с его ОДЗ.

Ответ: $x \ge -2$.

в)

Дано неравенство $\sqrt{6-x} > 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием:

$6 - x \ge 0$

$x \le 6$

Для решения неравенства $\sqrt{6-x} > 0$, заметим, что значение корня будет строго больше нуля тогда и только тогда, когда подкоренное выражение строго больше нуля. Если $6-x=0$, то $\sqrt{0}=0$, что не удовлетворяет строгому неравенству.

Следовательно, нам нужно решить неравенство:

$6 - x > 0$

$-x > -6$

Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства:

$x < 6$

Данное решение $x < 6$ удовлетворяет ОДЗ ($x \le 6$).

Ответ: $x < 6$.

г)

Дано неравенство $\sqrt[4]{5x+1} \ge 0$.

Корень четной степени (4-й степени) по определению всегда принимает неотрицательные значения. Это означает, что неравенство $\sqrt[4]{5x+1} \ge 0$ верно для всех значений $x$, для которых выражение под корнем определено.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ), для которой подкоренное выражение неотрицательно:

$5x + 1 \ge 0$

$5x \ge -1$

$x \ge -\frac{1}{5}$

Решение неравенства совпадает с его областью определения.

Ответ: $x \ge -\frac{1}{5}$.