Номер 22.18, страница 110 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

22.18. Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций $y = \sqrt{1 - 4\sin x}$ и $y = \sqrt{1 - 4\cos 2x}$.

22.18. Для нахождения абсцисс точек пересечения графиков функций необходимо приравнять их правые части:
$ \sqrt{1 - 4\sin x} = \sqrt{1 - 4\cos 2x} $
Это уравнение равносильно системе, состоящей из самого уравнения, возведенного в квадрат, и условия неотрицательности одного из подкоренных выражений (второе будет неотрицательно автоматически в силу равенства):
$ \begin{cases} 1 - 4\sin x = 1 - 4\cos 2x \\ 1 - 4\sin x \ge 0 \end{cases} $
Решим первое уравнение системы:
$ 1 - 4\sin x = 1 - 4\cos 2x $
$ -4\sin x = -4\cos 2x $
$ \sin x = \cos 2x $
Применим формулу косинуса двойного угла: $ \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x $.
$ \sin x = 1 - 2\sin^2 x $
$ 2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0 $
Сделаем замену $ t = \sin x $, где $ |t| \le 1 $:
$ 2t^2 + t - 1 = 0 $
Корни этого квадратного уравнения: $ t_1 = \frac{-1 - \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 3}{4} = -1 $ и $ t_2 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{1}{2} $.
Теперь вернемся к переменной $x$ и проверим выполнение условия $ 1 - 4\sin x \ge 0 $.
Случай 1: $ \sin x = -1 $.
Проверяем условие: $ 1 - 4(-1) = 1 + 4 = 5 \ge 0 $. Условие выполнено. Следовательно, эти решения подходят.
$ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $.
Случай 2: $ \sin x = \frac{1}{2} $.
Проверяем условие: $ 1 - 4\left(\frac{1}{2}\right) = 1 - 2 = -1 \ge 0 $. Условие не выполнено. Следовательно, решения этого уравнения являются посторонними.
Таким образом, искомыми абсциссами являются только решения из первого случая.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.