Номер 22.17, страница 110 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

22.17. Решите уравнение $\sqrt{x-2} = \sqrt[3]{5+x-1}$

Для решения данного иррационального уравнения воспользуемся методом введения новых переменных.

Исходное уравнение: $ \sqrt{x-2} = \sqrt[3]{5+x} - 1 $

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным:

$ x - 2 \ge 0 $, что означает $ x \ge 2 $.

Введем две новые переменные для упрощения уравнения:

Пусть $ a = \sqrt{x-2} $ и $ b = \sqrt[3]{5+x} $.

По определению квадратного корня, $ a \ge 0 $.

С новыми переменными исходное уравнение принимает вид:

$ a = b - 1 $

Теперь выразим $ x $ через каждую из введенных переменных:

Из $ a = \sqrt{x-2} $ возведением в квадрат получаем $ a^2 = x-2 $, откуда $ x = a^2 + 2 $.

Из $ b = \sqrt[3]{5+x} $ возведением в куб получаем $ b^3 = 5+x $, откуда $ x = b^3 - 5 $.

Так как оба выражения равны $ x $, мы можем их приравнять:

$ a^2 + 2 = b^3 - 5 $

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными $ a $ и $ b $:

$ \begin{cases} a = b - 1 \\ a^2 + 2 = b^3 - 5 \end{cases} $

Подставим выражение для $ a $ из первого уравнения во второе:

$ (b-1)^2 + 2 = b^3 - 5 $

Раскроем скобки и упростим полученное уравнение:

$ (b^2 - 2b + 1) + 2 = b^3 - 5 $

$ b^2 - 2b + 3 = b^3 - 5 $

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартный вид кубического уравнения:

$ b^3 - b^2 + 2b - 8 = 0 $

Чтобы решить это уравнение, попробуем найти его целые корни. Согласно теореме о рациональных корнях, если у многочлена с целыми коэффициентами есть целый корень, то он является делителем свободного члена (в данном случае $-8$).

Делители числа $-8$: $ \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8 $.

Проверим значение $ b=2 $:

$ (2)^3 - (2)^2 + 2(2) - 8 = 8 - 4 + 4 - 8 = 0 $

Поскольку получилось верное равенство, $ b=2 $ является корнем уравнения. Теперь разделим многочлен $ b^3 - b^2 + 2b - 8 $ на двучлен $ (b-2) $:

$ (b-2)(b^2 + b + 4) = 0 $

Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

1) $ b-2=0 \implies b=2 $

2) $ b^2+b+4=0 $

Рассмотрим второе (квадратное) уравнение. Найдем его дискриминант $ D $:

$ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 1 - 16 = -15 $

Так как дискриминант $ D < 0 $, уравнение $ b^2+b+4=0 $ не имеет действительных корней.

Следовательно, единственным действительным решением для $ b $ является $ b=2 $.

Теперь вернемся к переменной $ x $. Мы использовали замену $ x = b^3 - 5 $.

Подставим найденное значение $ b=2 $:

$ x = 2^3 - 5 = 8 - 5 = 3 $

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $ x=3 $ области допустимых значений ($ x \ge 2 $). Условие $ 3 \ge 2 $ выполняется.

Наконец, выполним проверку, подставив $ x=3 $ в исходное уравнение:

$ \sqrt{3-2} = \sqrt[3]{5+3} - 1 $

$ \sqrt{1} = \sqrt[3]{8} - 1 $

$ 1 = 2 - 1 $

$ 1 = 1 $

Равенство верное, значит, $ x=3 $ является единственным решением уравнения.

22.17. Ответ: 3