Номер 22.20, страница 111 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

22.20. Решите уравнение $(x-1)\sqrt{x-a} = 0$.

Исходное уравнение $(x-1)\sqrt{x-a}=0$ представляет собой произведение двух множителей, равное нулю. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а все выражения в уравнении определены.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием неотрицательности подкоренного выражения: $x - a \ge 0$, что эквивалентно $x \ge a$.

Приравняем каждый множитель к нулю с учетом ОДЗ:
1. $x - 1 = 0 \implies x = 1$. Этот корень является решением только в том случае, если он удовлетворяет ОДЗ, то есть при выполнении условия $1 \ge a$.
2. $\sqrt{x-a} = 0 \implies x - a = 0 \implies x = a$. Этот корень всегда удовлетворяет ОДЗ, так как неравенство $a \ge a$ верно при любом значении $a$.

Проанализируем решения в зависимости от значения параметра $a$.

При $a > 1$ Ответ: условие $1 \ge a$ не выполняется, следовательно, $x=1$ не является корнем, так как не входит в ОДЗ. Единственным корнем уравнения будет $x=a$.

При $a = 1$ Ответ: условие $1 \ge a$ выполняется ($1 \ge 1$), поэтому $x=1$ является корнем. Корень $x=a$ также равен $1$. Таким образом, корни совпадают, и уравнение имеет одно решение: $x=1$.

При $a < 1$ Ответ: условие $1 \ge a$ выполняется, поэтому $x=1$ является корнем. Корень $x=a$ также является решением. Поскольку $a < 1$, корни $x=1$ и $x=a$ различны. Уравнение имеет два корня.