Номер 22.21, страница 111 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

22.21. Найдите все значения числа $a$, при которых уравнения $x^2 - a = 0$ и $\sqrt{x} - a = 0$ равносильны.

Два уравнения называются равносильными (или эквивалентными), если множества их решений полностью совпадают. Чтобы найти необходимые значения параметра $a$, проанализируем решения каждого уравнения в зависимости от $a$.

Анализ первого уравнения: $x^2 - a = 0$

Это уравнение можно представить в виде $x^2 = a$. Рассмотрим три случая для параметра $a$:

• При $a < 0$: уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Множество решений $S_1 = \emptyset$.
• При $a = 0$: уравнение принимает вид $x^2 = 0$, откуда следует единственный корень $x = 0$. Множество решений $S_1 = \{0\}$.
• При $a > 0$: уравнение имеет два различных действительных корня $x_1 = \sqrt{a}$ и $x_2 = -\sqrt{a}$. Множество решений $S_1 = \{-\sqrt{a}, \sqrt{a}\}$.

Анализ второго уравнения: $\sqrt{x} - a = 0$

Перепишем уравнение как $\sqrt{x} = a$. Область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$ определяется условием $x \ge 0$.

Рассмотрим решения этого уравнения в зависимости от $a$:

• При $a < 0$: уравнение $\sqrt{x} = a$ не имеет решений, поскольку левая часть по определению неотрицательна ($\sqrt{x} \ge 0$), а правая — отрицательна. Множество решений $S_2 = \emptyset$.
• При $a = 0$: уравнение принимает вид $\sqrt{x} = 0$, откуда $x = 0$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ. Множество решений $S_2 = \{0\}$.
• При $a > 0$: так как обе части уравнения неотрицательны, можно возвести их в квадрат: $(\sqrt{x})^2 = a^2$, что дает $x = a^2$. Множество решений $S_2 = \{a^2\}$.

Сравнение множеств решений для установления равносильности

Теперь необходимо найти все значения $a$, при которых множества решений $S_1$ и $S_2$ совпадают ($S_1 = S_2$).

• Случай 1: $a < 0$
  Множество решений первого уравнения $S_1 = \emptyset$.
  Множество решений второго уравнения $S_2 = \emptyset$.
  Поскольку $S_1 = S_2$, уравнения равносильны. Таким образом, все значения $a < 0$ являются решением.
• Случай 2: $a = 0$
  Множество решений первого уравнения $S_1 = \{0\}$.
  Множество решений второго уравнения $S_2 = \{0\}$.
  Множества решений совпадают, следовательно, при $a=0$ уравнения равносильны.
• Случай 3: $a > 0$
  Множество решений первого уравнения $S_1 = \{-\sqrt{a}, \sqrt{a}\}$.
  Множество решений второго уравнения $S_2 = \{a^2\}$.
  Для того чтобы уравнения были равносильны, их множества решений должны быть идентичны: $\{-\sqrt{a}, \sqrt{a}\} = \{a^2\}$. При $a > 0$ множество $S_1$ состоит из двух различных элементов, так как $\sqrt{a} \neq -\sqrt{a}$. Множество $S_2$ состоит из одного элемента. Множество из двух элементов не может быть равно множеству из одного элемента. Следовательно, при $a > 0$ уравнения не равносильны.

Объединяя результаты, полученные во всех трех случаях, приходим к выводу, что данные уравнения равносильны при $a < 0$ и при $a = 0$.

Ответ: $a \le 0$.