Номер 23.7, страница 117 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

23.7. Выберите неравенства, не имеющие решений:

а) $\sqrt{x+5} < -2;$

б) $\sqrt[4]{7-x} \leqslant -1;$

в) $\sqrt[6]{3-x} < 0;$

г) $\sqrt[8]{x+8} \leqslant 0.$

Для определения неравенств, не имеющих решений, проанализируем каждое из них, используя свойство арифметического корня четной степени: значение такого корня всегда неотрицательно (больше или равно нулю).

а) $ \sqrt{x+5} < -2 $ Левая часть неравенства, $ \sqrt{x+5} $, по определению не может быть отрицательной ($ \sqrt{x+5} \ge 0 $), а правая часть — отрицательное число ($-2$). Неотрицательное число не может быть меньше отрицательного, следовательно, неравенство не имеет решений. Ответ: не имеет решений.

б) $ \sqrt[4]{7-x} \le -1 $ Левая часть, $ \sqrt[4]{7-x} $, является корнем четной степени, поэтому ее значение всегда неотрицательно ($ \sqrt[4]{7-x} \ge 0 $). Правая часть — отрицательное число ($-1$). Неравенство требует, чтобы неотрицательное число было меньше или равно отрицательному, что невозможно. Ответ: не имеет решений.

в) $ \sqrt[6]{3-x} < 0 $ Левая часть, $ \sqrt[6]{3-x} $, является корнем четной степени, и ее значение всегда неотрицательно ($ \sqrt[6]{3-x} \ge 0 $). Неравенство требует, чтобы неотрицательное число было строго меньше нуля, что невозможно. Ответ: не имеет решений.

г) $ \sqrt[8]{x+8} \le 0 $ Левая часть, $ \sqrt[8]{x+8} $, как корень четной степени, всегда неотрицательна ($ \sqrt[8]{x+8} \ge 0 $). Неравенство $ \sqrt[8]{x+8} \le 0 $ может выполняться только в единственном случае: когда левая часть равна нулю. Решим уравнение $ \sqrt[8]{x+8} = 0 $, откуда $ x+8 = 0 $ и $ x = -8 $. Так как неравенство имеет решение, оно не является искомым. Ответ: имеет решение.