Номер 23.14, страница 118 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

23.14. Решите неравенство $\sqrt{x-2}+\sqrt{2x+5}>3$ двумя способами.

Исходное неравенство: $\sqrt{x-2} + \sqrt{2x+5} > 3$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под корнями должны быть неотрицательными: $ \begin{cases} x - 2 \ge 0 \\ 2x + 5 \ge 0 \end{cases} $ $ \begin{cases} x \ge 2 \\ x \ge -2.5 \end{cases} $ Пересечением этих условий является $x \ge 2$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [2; +\infty)$.

Способ 1: Метод возведения в квадрат

На ОДЗ ($x \ge 2$) обе части неравенства $\sqrt{x-2} + \sqrt{2x+5} > 3$ неотрицательны, поэтому мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства: $(\sqrt{x-2} + \sqrt{2x+5})^2 > 3^2$

$(x-2) + 2\sqrt{(x-2)(2x+5)} + (2x+5) > 9$

Приводим подобные слагаемые: $3x + 3 + 2\sqrt{2x^2 + 5x - 4x - 10} > 9$

$3x + 3 + 2\sqrt{2x^2 + x - 10} > 9$

Уединим радикал: $2\sqrt{2x^2 + x - 10} > 9 - 3 - 3x$

$2\sqrt{2x^2 + x - 10} > 6 - 3x$

Рассмотрим два случая в зависимости от знака правой части.

Случай 1: Правая часть отрицательна. $6 - 3x < 0 \implies 6 < 3x \implies x > 2$. В этом случае левая часть (как корень, умноженный на 2) неотрицательна, а правая — отрицательна. Неравенство вида (неотрицательное число) > (отрицательное число) всегда верно. Нам нужно только убедиться, что подкоренное выражение определено, то есть $2x^2 + x - 10 \ge 0$. Найдем корни уравнения $2x^2 + x - 10 = 0$: $x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-10)}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm \sqrt{81}}{4} = \frac{-1 \pm 9}{4}$. Корни: $x_1 = \frac{-1 - 9}{4} = -\frac{10}{4} = -2\frac{1}{2}$, $x_2 = \frac{-1 + 9}{4} = \frac{8}{4} = 2$. Так как ветви параболы $y=2x^2 + x - 10$ направлены вверх, неравенство $2x^2 + x - 10 \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty; -2\frac{1}{2}] \cup [2; +\infty)$. Решение для первого случая — это пересечение условий: $x > 2$, $x \in (-\infty; -2\frac{1}{2}] \cup [2; +\infty)$ и ОДЗ $x \ge 2$. Пересечением является интервал $(2; +\infty)$.

Случай 2: Правая часть неотрицательна. $6 - 3x \ge 0 \implies 6 \ge 3x \implies x \le 2$. С учетом ОДЗ ($x \ge 2$), этот случай возможен только при $x=2$. Подставим $x=2$ в исходное неравенство: $\sqrt{2-2} + \sqrt{2 \cdot 2 + 5} > 3$ $\sqrt{0} + \sqrt{9} > 3$ $3 > 3$ Это неверно. Значит, $x=2$ не является решением. Таким образом, во втором случае решений нет.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем решение неравенства: $x > 2$.

Ответ: $x \in (2; +\infty)$

Способ 2: Метод исследования функции

Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt{x-2} + \sqrt{2x+5}$. Нам нужно решить неравенство $f(x) > 3$. Область определения этой функции, как мы нашли ранее, $D(f) = [2; +\infty)$.

Найдем производную функции, чтобы исследовать ее на монотонность: $f'(x) = (\sqrt{x-2})' + (\sqrt{2x+5})' = \frac{1}{2\sqrt{x-2}} + \frac{(2x+5)'}{2\sqrt{2x+5}} = \frac{1}{2\sqrt{x-2}} + \frac{2}{2\sqrt{2x+5}} = \frac{1}{2\sqrt{x-2}} + \frac{1}{\sqrt{2x+5}}$.

На всей области определения, кроме точки $x=2$ (где производная не определена), оба слагаемых в выражении для $f'(x)$ строго положительны. Следовательно, $f'(x) > 0$ при $x > 2$. Это означает, что функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей своей области определения $[2; +\infty)$.

Так как функция монотонно возрастает, мы можем найти корень уравнения $f(x) = 3$. Все значения $x$, большие этого корня, будут решениями неравенства $f(x) > 3$. Решим уравнение: $\sqrt{x-2} + \sqrt{2x+5} = 3$.

Проверим значение функции на левой границе области определения, в точке $x=2$: $f(2) = \sqrt{2-2} + \sqrt{2 \cdot 2 + 5} = \sqrt{0} + \sqrt{9} = 0 + 3 = 3$. Мы нашли, что $f(2) = 3$.

Поскольку функция $f(x)$ строго возрастает на $[2; +\infty)$ и $f(2) = 3$, то для любого $x > 2$ будет выполняться неравенство $f(x) > f(2)$, то есть $f(x) > 3$.

Ответ: $x \in (2; +\infty)$