Номер 23.20, страница 119 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

23.20. Решите неравенство $\sqrt{x-1} < a$ относительно переменной $x$.

Данное неравенство $\sqrt{x-1} < a$ является иррациональным неравенством с параметром $a$. Его решение зависит от значения этого параметра.

1. В первую очередь найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$x - 1 \ge 0$

откуда получаем:

$x \ge 1$

Таким образом, ОДЗ: $x \in [1; +\infty)$.

2. Теперь рассмотрим два возможных случая для параметра $a$.

Случай 1: $a \le 0$

Левая часть неравенства, $\sqrt{x-1}$, по определению арифметического квадратного корня, всегда неотрицательна ($\sqrt{x-1} \ge 0$). Правая часть $a$ по условию этого случая является неположительным числом. Неравенство, в котором неотрицательная величина должна быть строго меньше неположительной величины, неверно. Следовательно, в этом случае решений нет.

Случай 2: $a > 0$

В этом случае обе части неравенства $\sqrt{x-1} < a$ положительны. Это позволяет нам возвести обе части в квадрат, при этом знак неравенства сохранится:

$(\sqrt{x-1})^2 < a^2$

$x - 1 < a^2$

$x < a^2 + 1$

Полученное решение должно удовлетворять ОДЗ, то есть $x \ge 1$. Объединим эти два условия в систему:

$\begin{cases} x < a^2 + 1 \\ x \ge 1 \end{cases}$

Решением этой системы является полуинтервал $1 \le x < a^2 + 1$.

3. Объединим полученные результаты.

Ответ:

при $a \le 0$ решений нет ($x \in \emptyset$);

при $a > 0$ решением является $x \in [1; a^2 + 1)$.