Номер 25.1, страница 122 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

25.1. Вычислите $f'(1)$, если $f(x) = \frac{x}{x^2 + 1} - \sqrt{x}$.

25.1. Для того чтобы вычислить значение производной $f'(1)$, сначала необходимо найти производную функции $f(x) = \frac{x}{x^2+1} - \sqrt{x}$.

Производная функции является разностью производных ее слагаемых. Используем правило дифференцирования разности $(u-v)' = u' - v'$:
$f'(x) = \left(\frac{x}{x^2+1}\right)' - (\sqrt{x})'$.

Вычислим производную первого слагаемого $\frac{x}{x^2+1}$, применяя правило производной частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$\left(\frac{x}{x^2+1}\right)' = \frac{(x)' \cdot (x^2+1) - x \cdot (x^2+1)'}{(x^2+1)^2} = \frac{1 \cdot (x^2+1) - x \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2+1-2x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$.

Вычислим производную второго слагаемого $\sqrt{x}$, представив его в виде степени $x^{1/2}$:
$(\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Теперь объединим найденные производные, чтобы получить $f'(x)$:
$f'(x) = \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2} - \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Наконец, подставим $x=1$ в выражение для производной, чтобы найти $f'(1)$:
$f'(1) = \frac{1-1^2}{(1^2+1)^2} - \frac{1}{2\sqrt{1}} = \frac{1-1}{(1+1)^2} - \frac{1}{2 \cdot 1} = \frac{0}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$.