Номер 25.2, страница 122 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

25.2. Известно, что $f(x) = (2x - 3)\sqrt{x}$. Найтите $f'(1) + f(1)$.

Для решения задачи необходимо последовательно вычислить значение функции $f(1)$, значение производной $f'(1)$ и затем найти их сумму.

1. Вычисление $f(1)$
Дана функция $f(x) = (2x - 3)\sqrt{x}$.
Подставим в неё значение $x=1$:
$f(1) = (2 \cdot 1 - 3)\sqrt{1} = (2 - 3) \cdot 1 = -1 \cdot 1 = -1$.
Ответ: -1.

2. Вычисление $f'(1)$
Сначала найдём производную функции $f(x)$. Так как функция представляет собой произведение двух функций $u(x) = 2x-3$ и $v(x) = \sqrt{x}$, воспользуемся правилом дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.
Найдём производные для $u(x)$ и $v(x)$:
$u'(x) = (2x-3)' = 2$
$v'(x) = (\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
Теперь найдём производную $f'(x)$:
$f'(x) = u'v + uv' = 2\sqrt{x} + (2x-3) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$
Вычислим значение производной в точке $x=1$:
$f'(1) = 2\sqrt{1} + (2 \cdot 1 - 3) \cdot \frac{1}{2\sqrt{1}} = 2 \cdot 1 + (-1) \cdot \frac{1}{2} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
Дробь $\frac{3}{2}$ является неправильной. Представим её в виде смешанного числа: $1\frac{1}{2}$.
Ответ: 1$\frac{1}{2}$.

3. Вычисление $f'(1) + f(1)$
Сложим полученные на предыдущих шагах значения:
$f'(1) + f(1) = \frac{3}{2} + (-1) = \frac{3}{2} - 1 = \frac{3}{2} - \frac{2}{2} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.