Номер 25.4, страница 122 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

25.4. Решите неравенство $2g'(x) \ge f'(x)$, если $g(x) = 3x^2 - 2x + 1$, $f(x) = x(1 - x^2)$.

25.4. Чтобы решить неравенство $2g'(x) > f'(x)$, необходимо найти производные заданных функций $g(x)$ и $f(x)$, подставить их в неравенство и решить его.

1. Нахождение производной $g'(x)$

Дана функция $g(x) = 3x^2 - 2x + 1$.

Используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, находим производную:

$g'(x) = (3x^2)' - (2x)' + (1)' = 3 \cdot 2x - 2 \cdot 1 + 0 = 6x - 2$.

2. Нахождение производной $f'(x)$

Дана функция $f(x) = x(1 - x^2)$. Для удобства дифференцирования раскроем скобки:

$f(x) = x - x^3$.

Теперь находим производную:

$f'(x) = (x)' - (x^3)' = 1 - 3x^2$.

3. Решение неравенства

Подставим найденные производные в исходное неравенство $2g'(x) > f'(x)$:

$2(6x - 2) > 1 - 3x^2$

Раскроем скобки и преобразуем неравенство к стандартному виду $ax^2 + bx + c > 0$:

$12x - 4 > 1 - 3x^2$

$3x^2 + 12x - 4 - 1 > 0$

$3x^2 + 12x - 5 > 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $3x^2 + 12x - 5 = 0$ с помощью дискриминанта.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 144 + 60 = 204$.

Корни уравнения равны:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 \pm \sqrt{204}}{2 \cdot 3} = \frac{-12 \pm \sqrt{4 \cdot 51}}{6} = \frac{-12 \pm 2\sqrt{51}}{6}$.

Сократим дробь на 2:

$x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{51}}{3}$.

Таким образом, мы имеем два корня: $x_1 = \frac{-6 - \sqrt{51}}{3}$ и $x_2 = \frac{-6 + \sqrt{51}}{3}$.

Квадратный трехчлен $3x^2 + 12x - 5$ представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=3>0$). Следовательно, неравенство $3x^2 + 12x - 5 > 0$ выполняется на интервалах, находящихся вне корней.

То есть, при $x < x_1$ и $x > x_2$.

Запишем решение в виде объединения интервалов.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{-6 - \sqrt{51}}{3}) \cup (\frac{-6 + \sqrt{51}}{3}; +\infty)$.