Номер 25.9, страница 123 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

25.9. Найдите все значения $a$, при которых $f'(x) > 0$ для всех действительных значений $x$, если $f(x)=x^3+3x^2+ax$.

25.9.

Чтобы найти все значения параметра a, при которых производная $f'(x)$ функции $f(x) = x^3 + 3x^2 + ax$ строго больше нуля для всех действительных значений x, необходимо выполнить следующие действия.

1. Находим производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (x^3 + 3x^2 + ax)' = 3x^2 + 6x + a$.

2. Формулируем условие задачи в виде неравенства:
$3x^2 + 6x + a > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Левая часть неравенства представляет собой квадратичную функцию $y(x) = 3x^2 + 6x + a$. Графиком этой функции является парабола. Так как старший коэффициент (при $x^2$) равен $3$, то есть положителен, ветви параболы направлены вверх.

Для того чтобы парабола с ветвями, направленными вверх, была всегда положительна, она должна полностью располагаться выше оси абсцисс ($Ox$). Это означает, что соответствующее квадратное уравнение $3x^2 + 6x + a = 0$ не должно иметь действительных корней.

3. Условием отсутствия действительных корней у квадратного уравнения является отрицательный дискриминант ($D < 0$).
Вычисляем дискриминант для трехчлена $3x^2 + 6x + a$:
$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 3 \cdot a = 36 - 12a$.

4. Решаем неравенство $D < 0$ относительно параметра a:
$36 - 12a < 0$
$36 < 12a$
$a > \frac{36}{12}$
$a > 3$

Таким образом, при $a > 3$ производная функции будет положительна для всех действительных значений x.

Ответ: $a > 3$.