Номер 23.21, страница 119 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

23.21. Решите неравенство $\sqrt{x+2} \ge a$ относительно переменной $x$.

Для решения данного иррационального неравенства с параметром $\sqrt{x + 2} \ge a$ необходимо рассмотреть все возможные значения параметра $a$.

В первую очередь определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Выражение под знаком арифметического квадратного корня должно быть неотрицательным:

$x + 2 \ge 0$

Откуда получаем:

$x \ge -2$

Таким образом, ОДЗ: $x \in [-2, +\infty)$. Любое решение неравенства должно принадлежать этому промежутку.

Далее, рассмотрим два основных случая в зависимости от знака параметра $a$.

1. Случай, когда $a < 0$

Если параметр $a$ является отрицательным числом, то правая часть неравенства $\sqrt{x + 2} \ge a$ отрицательна. Левая часть, $\sqrt{x + 2}$, по определению арифметического корня, всегда неотрицательна (то есть $\sqrt{x + 2} \ge 0$). Любое неотрицательное число всегда больше или равно любому отрицательному числу. Следовательно, при $a < 0$ неравенство справедливо для всех значений $x$ из области допустимых значений.

Решением в этом случае является вся область допустимых значений: $x \ge -2$.

2. Случай, когда $a \ge 0$

Если параметр $a$ является неотрицательным числом, то обе части неравенства $\sqrt{x + 2} \ge a$ неотрицательны. В этом случае мы имеем право возвести обе части неравенства в квадрат, не меняя знака неравенства:

$(\sqrt{x + 2})^2 \ge a^2$

$x + 2 \ge a^2$

$x \ge a^2 - 2$

Полученное решение должно также удовлетворять ОДЗ, то есть $x \ge -2$. Таким образом, мы имеем систему из двух неравенств:

$\begin{cases} x \ge a^2 - 2 \\ x \ge -2 \end{cases}$

Чтобы найти решение системы, сравним выражения $a^2 - 2$ и $-2$. Поскольку по условию этого случая $a \ge 0$, то $a^2 \ge 0$, и следовательно $a^2 - 2 \ge -2$. Это означает, что условие $x \ge a^2 - 2$ является более сильным (оно автоматически включает в себя условие $x \ge -2$).

Следовательно, решением системы, а значит и решением исходного неравенства для этого случая, является $x \ge a^2 - 2$.

Объединяя результаты, полученные в обоих случаях, мы можем сформулировать окончательный ответ.

Ответ:

• при $a < 0$, решением является $x \in [-2, +\infty)$;
• при $a \ge 0$, решением является $x \in [a^2 - 2, +\infty)$.