Номер 23.16, страница 118 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

23.16. Найдите все значения аргумента, при которых график функции $y = \sqrt{2x - 1} + \sqrt{x + 15}$ расположен ниже прямой $y=5$.

23.16. Для того чтобы найти все значения аргумента $x$, при которых график функции $y = \sqrt{2x - 1} + \sqrt{x + 15}$ расположен ниже прямой $y=5$, необходимо решить иррациональное неравенство:
$\sqrt{2x - 1} + \sqrt{x + 15} < 5$

В первую очередь определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Так как подкоренные выражения не могут быть отрицательными, составим систему неравенств:
$\begin{cases} 2x - 1 \ge 0 \\ x + 15 \ge 0 \end{cases}$
Решим эту систему:
$\begin{cases} 2x \ge 1 \\ x \ge -15 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge \frac{1}{2} \\ x \ge -15 \end{cases}$
Общим решением системы является $x \ge \frac{1}{2}$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [\frac{1}{2}; +\infty)$.

Теперь приступим к решению самого неравенства $\sqrt{2x - 1} + \sqrt{x + 15} < 5$. На всей области допустимых значений левая часть неравенства (сумма корней) и правая часть (число 5) являются неотрицательными. Это позволяет нам возвести обе части неравенства в квадрат, сохранив знак неравенства:
$(\sqrt{2x - 1} + \sqrt{x + 15})^2 < 5^2$
$(2x - 1) + 2\sqrt{(2x - 1)(x + 15)} + (x + 15) < 25$
Приведем подобные слагаемые:
$3x + 14 + 2\sqrt{2x^2 + 29x - 15} < 25$
Уединим радикал в левой части:
$2\sqrt{2x^2 + 29x - 15} < 25 - 14 - 3x$
$2\sqrt{2x^2 + 29x - 15} < 11 - 3x$

Перед следующим возведением в квадрат необходимо потребовать, чтобы правая часть неравенства была положительной, так как левая часть (корень, умноженный на 2) всегда неотрицательна, а неравенство строгое:
$11 - 3x > 0 \implies 11 > 3x \implies x < \frac{11}{3} \implies x < 3\frac{2}{3}$
С учетом этого дополнительного условия, возведем обе части неравенства в квадрат еще раз:
$4(2x^2 + 29x - 15) < (11 - 3x)^2$
$8x^2 + 116x - 60 < 121 - 66x + 9x^2$
Перенесем все члены в правую часть и приведем подобные:
$0 < (9x^2 - 8x^2) + (-66x - 116x) + (121 + 60)$
$0 < x^2 - 182x + 181$

Мы получили квадратное неравенство $x^2 - 182x + 181 > 0$. Для его решения найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 182x + 181 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $182$, а их произведение равно $181$. Отсюда легко найти корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 181$.
Поскольку ветви параболы $y = x^2 - 182x + 181$ направлены вверх, неравенство $x^2 - 182x + 181 > 0$ выполняется для $x$, находящихся вне интервала между корнями, то есть при $x < 1$ или $x > 181$.

Наконец, объединим все найденные условия для $x$ в одну систему:
$\begin{cases} x \ge \frac{1}{2} \\ x < 3\frac{2}{3} \\ x \in (-\infty; 1) \cup (181; +\infty) \end{cases}$
Пересечение первого и второго условий дает промежуток $[\frac{1}{2}; 3\frac{2}{3})$. Пересекая этот результат с третьим условием, получаем итоговое решение: $[\frac{1}{2}; 1)$.

Ответ: $x \in [\frac{1}{2}; 1)$.