Номер 23.3, страница 117 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

23.3. Найдите все значения аргумента, при которых график функции

$y = \sqrt{x - 2}$ расположен:

а) выше прямой $y = -1$;

б) не ниже прямой $y = -3$;

в) выше оси абсцисс;

г) не ниже оси абсцисс.

Для решения задачи найдем область определения и область значений функции $y = \sqrt{x - 2}$.

Область определения функции ($D(y)$) находится из условия, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$x - 2 \ge 0$
$x \ge 2$
Таким образом, область определения функции: $x \in [2, +\infty)$.

Область значений функции ($E(y)$) определяется тем, что арифметический квадратный корень по определению всегда возвращает неотрицательное значение:
$y = \sqrt{x - 2} \ge 0$
Таким образом, область значений функции: $y \in [0, +\infty)$.

Теперь решим каждую часть задачи, используя эти свойства.

а) выше прямой y = -1:
Это условие означает, что значения функции $y$ должны быть строго больше $-1$. Запишем это в виде неравенства: $y > -1$, или $\sqrt{x - 2} > -1$.
Поскольку мы знаем, что область значений функции $y \ge 0$, любое значение функции заведомо будет больше $-1$. Следовательно, данное неравенство выполняется для всех $x$ из области определения функции.
Ответ: $x \ge 2$.

б) не ниже прямой y = -3:
Условие "не ниже" означает "больше или равно". Значения функции $y$ должны быть больше или равны $-3$. Запишем неравенство: $y \ge -3$, или $\sqrt{x - 2} \ge -3$.
Так как $y$ всегда принимает значения больше или равные нулю ($y \ge 0$), а любое неотрицательное число всегда больше или равно $-3$, это неравенство выполняется для всех $x$ из области определения.
Ответ: $x \ge 2$.

в) выше оси абсцисс:
Ось абсцисс — это прямая, где $y = 0$. Условие "выше" означает, что $y$ должен быть строго больше нуля. Запишем неравенство: $y > 0$, или $\sqrt{x - 2} > 0$.
Чтобы значение корня было строго положительным, подкоренное выражение также должно быть строго положительным. Возведем обе части неравенства в квадрат:
$(\sqrt{x - 2})^2 > 0^2$
$x - 2 > 0$
$x > 2$
Это решение входит в область определения функции ($x \ge 2$).
Ответ: $x > 2$.

г) не ниже оси абсцисс:
Условие "не ниже" оси абсцисс означает, что $y$ должен быть больше или равен нулю. Запишем неравенство: $y \ge 0$, или $\sqrt{x - 2} \ge 0$.
Это неравенство является самим определением арифметического квадратного корня и выполняется для всех значений $x$, при которых функция определена, то есть для всей ее области определения.
Ответ: $x \ge 2$.