Номер 23.6, страница 117 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

23.6. Найдите наибольшее целое решение неравенства:

а) $\sqrt{x-8} < 7;$

б) $\sqrt{2x+3} \leq 5;$

в) $\sqrt[6]{x+3} < 2;$

г) $\sqrt[4]{x-1} \leq 3.$

а) Для решения неравенства $\sqrt{x-8} < 7$ необходимо учесть два условия.
1. Область допустимых значений (ОДЗ): выражение под корнем должно быть неотрицательным, то есть $x-8 \ge 0$, откуда следует $x \ge 8$.
2. Решение самого неравенства: поскольку обе части неравенства неотрицательны, можно возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства. $(\sqrt{x-8})^2 < 7^2$, что приводит к $x-8 < 49$. Отсюда $x < 49+8$, то есть $x < 57$.
Объединяя оба условия ($x \ge 8$ и $x < 57$), получаем решение $8 \le x < 57$. Наибольшее целое число, входящее в этот промежуток, равно 56. Ответ: 56

б) Для неравенства $\sqrt{2x+3} \le 5$ выполним следующие шаги.
1. Найдем ОДЗ: $2x+3 \ge 0 \implies 2x \ge -3 \implies x \ge -\frac{3}{2}$ или $x \ge -1.5$.
2. Возведем обе неотрицательные части в квадрат: $(\sqrt{2x+3})^2 \le 5^2$, что дает $2x+3 \le 25$.
3. Решим полученное линейное неравенство: $2x \le 25-3 \implies 2x \le 22 \implies x \le 11$.
Совместив результат с ОДЗ, получим интервал $-1.5 \le x \le 11$. Наибольшим целым решением в этом интервале является 11. Ответ: 11

в) Рассмотрим неравенство $\sqrt[6]{x+3} < 2$.
1. ОДЗ для корня четной степени: $x+3 \ge 0 \implies x \ge -3$.
2. Так как обе части неравенства неотрицательны, возведем их в шестую степень: $(\sqrt[6]{x+3})^6 < 2^6$, что дает $x+3 < 64$.
3. Отсюда $x < 64-3 \implies x < 61$.
Решением является пересечение условий $x \ge -3$ и $x < 61$, то есть $-3 \le x < 61$. Наибольшее целое число в этом промежутке — это 60. Ответ: 60

г) Решим неравенство $\sqrt[4]{x-1} \le 3$.
1. ОДЗ: $x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$.
2. Возведем обе части в четвертую степень: $(\sqrt[4]{x-1})^4 \le 3^4$, что приводит к $x-1 \le 81$.
3. Решая неравенство, получаем $x \le 81+1 \implies x \le 82$.
Общее решение с учетом ОДЗ есть интервал $1 \le x \le 82$. Наибольшее целое решение из этого интервала равно 82. Ответ: 82