Номер 26.13, страница 127 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

26.13. Материальная точка движется прямолинейно по закону $s(t) = \sqrt{4t^2 - 6t + 11}$ (время измеряется в секундах, расстояние — в метрах). Найдите скорость движения точки в момент времени $t_0 = 5 \text{ с}$.

Для нахождения скорости движения точки в определенный момент времени необходимо найти производную функции, описывающей расстояние, по времени $t$. Скорость $v(t)$ является первой производной от пути $s(t)$.

Закон движения задан функцией: $s(t) = \sqrt{4t^2 - 6t + 11}$.

Найдем производную этой функции, используя правило дифференцирования сложной функции. Пусть $u(t) = 4t^2 - 6t + 11$, тогда $s(t) = \sqrt{u}$.

Производная $s'(t)$ будет равна:

$v(t) = s'(t) = (\sqrt{u})' \cdot u'(t) = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot u'(t)$

Найдем производную подкоренного выражения $u'(t)$:

$u'(t) = (4t^2 - 6t + 11)' = 4 \cdot 2t - 6 = 8t - 6$

Теперь подставим все в формулу для скорости:

$v(t) = \frac{1}{2\sqrt{4t^2 - 6t + 11}} \cdot (8t - 6) = \frac{8t - 6}{2\sqrt{4t^2 - 6t + 11}} = \frac{2(4t - 3)}{2\sqrt{4t^2 - 6t + 11}} = \frac{4t - 3}{\sqrt{4t^2 - 6t + 11}}$

Теперь необходимо найти скорость в момент времени $t_0 = 5$ с. Для этого подставим значение $t = 5$ в полученную формулу для скорости $v(t)$:

$v(5) = \frac{4 \cdot 5 - 3}{\sqrt{4 \cdot 5^2 - 6 \cdot 5 + 11}}$

Выполним вычисления:

$v(5) = \frac{20 - 3}{\sqrt{4 \cdot 25 - 30 + 11}} = \frac{17}{\sqrt{100 - 30 + 11}} = \frac{17}{\sqrt{81}} = \frac{17}{9}$ м/с.

Ответ: скорость движения точки в момент времени $t_0 = 5$ с равна $\frac{17}{9}$ м/с, что составляет 1$\frac{8}{9}$ м/с.