Номер 3.36, страница 236 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.36. Найдите производную функции $f(x) = \frac{(2x - \sqrt{5})(2x + \sqrt{5})}{x-4}$.

Для того чтобы найти производную функции $f(x) = \frac{(2x - \sqrt{5})(2x + \sqrt{5})}{x - 4}$, первым шагом упростим ее выражение. Числитель дроби представляет собой формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

Применим эту формулу к числителю, где $a = 2x$ и $b = \sqrt{5}$:

$(2x - \sqrt{5})(2x + \sqrt{5}) = (2x)^2 - (\sqrt{5})^2 = 4x^2 - 5$

Таким образом, исходная функция принимает более простой вид:

$f(x) = \frac{4x^2 - 5}{x - 4}$

Теперь найдем производную этой функции, используя правило дифференцирования частного (дроби):

$f'(x) = \left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}$

В нашем случае:

• $u(x) = 4x^2 - 5$
• $v(x) = x - 4$

Находим производные для $u(x)$ и $v(x)$:

$u'(x) = (4x^2 - 5)' = 4 \cdot 2x - 0 = 8x$

$v'(x) = (x - 4)' = 1 - 0 = 1$

Подставляем полученные выражения в формулу производной частного:

$f'(x) = \frac{(8x)(x - 4) - (4x^2 - 5)(1)}{(x - 4)^2}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$f'(x) = \frac{8x^2 - 32x - 4x^2 + 5}{(x - 4)^2}$

$f'(x) = \frac{4x^2 - 32x + 5}{(x - 4)^2}$

Полученная дробь является неправильной, так как степень многочлена в числителе (2) не меньше степени многочлена в знаменателе ($ (x-4)^2 = x^2-8x+16 $, степень 2). Выделим целую часть. Для этого преобразуем числитель:

$4x^2 - 32x + 5 = 4(x^2 - 8x) + 5 = 4(x^2 - 8x + 16 - 16) + 5 = 4(x^2 - 8x + 16) - 4 \cdot 16 + 5 = 4(x-4)^2 - 64 + 5 = 4(x-4)^2 - 59$

Теперь подставим преобразованный числитель обратно в выражение для производной:

$f'(x) = \frac{4(x-4)^2 - 59}{(x-4)^2} = \frac{4(x-4)^2}{(x-4)^2} - \frac{59}{(x-4)^2} = 4 - \frac{59}{(x-4)^2}$

Ответ: $f'(x) = 4 - \frac{59}{(x-4)^2}$