Номер 3.41, страница 236 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.41. Найдите, при каких значениях переменной равна нулю производная функции $f(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 20x$.

Для того чтобы найти, при каких значениях переменной $x$ производная функции $f(x)$ равна нулю, необходимо сначала найти производную этой функции, а затем приравнять ее к нулю и решить полученное уравнение.

1. Нахождение производной функции

Дана функция:

$f(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 20x$

Для нахождения производной $f'(x)$ воспользуемся правилами дифференцирования. В частности, правилом для степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.

$f'(x) = \left(\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 20x\right)' = \left(\frac{1}{3}x^3\right)' - \left(\frac{1}{2}x^2\right)' - (20x)'$

Применим правило дифференцирования к каждому слагаемому:

$f'(x) = \frac{1}{3} \cdot 3x^{3-1} - \frac{1}{2} \cdot 2x^{2-1} - 20 \cdot 1x^{1-1}$

$f'(x) = x^2 - x - 20$

2. Решение уравнения $f'(x) = 0$

Теперь приравняем полученную производную к нулю, чтобы найти искомые значения $x$:

$x^2 - x - 20 = 0$

Это стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=1$, $b=-1$, $c=-20$. Решим его с помощью дискриминанта ($D$).

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81$

Поскольку дискриминант больше нуля ($D > 0$), уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 9}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 9}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Таким образом, производная функции обращается в нуль при двух значениях переменной: -4 и 5.

Ответ: -4; 5.