Номер 3.47, страница 237 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.47. Дана функция $f(x)=(4x+13)^2$. Сравните $f'(-3)$ и $f'(-\sqrt{5})$.

Для того чтобы сравнить значения производной функции $f(x) = (4x+13)^2$ в заданных точках, необходимо сначала найти саму производную функции $f'(x)$.

Используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): $(u(v(x)))' = u'(v(x)) \cdot v'(x)$.

В данном случае, внешняя функция — это возведение в квадрат, а внутренняя — $4x+13$.

$f'(x) = ((4x+13)^2)' = 2 \cdot (4x+13)^{2-1} \cdot (4x+13)' = 2(4x+13) \cdot 4 = 8(4x+13)$.

Раскроем скобки: $f'(x) = 32x + 104$.

Теперь, имея выражение для производной, вычислим её значения в указанных точках.

Вычисление $f'(-3)$

Подставим значение $x = -3$ в выражение для производной:

$f'(-3) = 32 \cdot (-3) + 104 = -96 + 104 = 8$.

Ответ: 8.

Вычисление $f'(-\sqrt{5})$

Подставим значение $x = -\sqrt{5}$ в выражение для производной:

$f'(-\sqrt{5}) = 32 \cdot (-\sqrt{5}) + 104 = 104 - 32\sqrt{5}$.

Ответ: $104 - 32\sqrt{5}$.

Сравнение $f'(-3)$ и $f'(-\sqrt{5})$

Теперь необходимо сравнить полученные значения: $8$ и $104 - 32\sqrt{5}$.

Для этого сравним числа $3$ и $\sqrt{5}$. Возведем оба числа в квадрат:

$3^2 = 9$

$(\sqrt{5})^2 = 5$

Поскольку $9 > 5$, то и $3 > \sqrt{5}$.

Теперь выполним последовательные преобразования с неравенством $3 > \sqrt{5}$:

1. Умножим обе части на $-32$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$-32 \cdot 3 < -32 \cdot \sqrt{5}$

$-96 < -32\sqrt{5}$

2. Прибавим к обеим частям неравенства число $104$:

$104 - 96 < 104 - 32\sqrt{5}$

$8 < 104 - 32\sqrt{5}$

Таким образом, мы установили, что $f'(-3) < f'(-\sqrt{5})$.

Ответ: $f'(-3) < f'(-\sqrt{5})$.