Номер 3.54, страница 237 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.54. Сравните $f'(2)$ и $f'(3)$ для функции $f(x) = x^3 - \frac{2}{x}$.

Для сравнения значений производной $f'(2)$ и $f'(3)$ для функции $f(x) = x^3 - \frac{2}{x}$, сначала необходимо найти производную этой функции, $f'(x)$.

1. Нахождение производной функции $f(x)$

Представим функцию в виде, удобном для дифференцирования, используя свойство степеней $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$f(x) = x^3 - 2x^{-1}$

Теперь найдем производную, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правило дифференцирования разности функций $(u-v)' = u' - v'$:

$f'(x) = (x^3 - 2x^{-1})' = (x^3)' - (2x^{-1})' = 3x^{3-1} - 2(-1)x^{-1-1} = 3x^2 + 2x^{-2}$

Запишем производную в более привычном виде:

$f'(x) = 3x^2 + \frac{2}{x^2}$

2. Вычисление значений производной в точках $x=2$ и $x=3$

Теперь, имея выражение для производной, мы можем вычислить ее значения в заданных точках.

f'(2)
Подставим $x=2$ в формулу для производной $f'(x)$:

$f'(2) = 3(2)^2 + \frac{2}{2^2} = 3 \cdot 4 + \frac{2}{4} = 12 + \frac{1}{2}$

Сложив целую и дробную части, получим неправильную дробь:

$12 + \frac{1}{2} = \frac{12 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2} = \frac{24+1}{2} = \frac{25}{2}$

Для выделения целой части преобразуем неправильную дробь $\frac{25}{2}$ в смешанное число, разделив 25 на 2 с остатком: $25 \div 2 = 12$ (остаток 1).

Ответ: 12$\frac{1}{2}$

f'(3)
Подставим $x=3$ в формулу для производной $f'(x)$:

$f'(3) = 3(3)^2 + \frac{2}{3^2} = 3 \cdot 9 + \frac{2}{9} = 27 + \frac{2}{9}$

Сложив целую и дробную части, получим неправильную дробь:

$27 + \frac{2}{9} = \frac{27 \cdot 9}{9} + \frac{2}{9} = \frac{243+2}{9} = \frac{245}{9}$

Для выделения целой части преобразуем неправильную дробь $\frac{245}{9}$ в смешанное число, разделив 245 на 9 с остатком: $245 \div 9 = 27$ (остаток 2).

Ответ: 27$\frac{2}{9}$

3. Сравнение полученных значений

Нам нужно сравнить $f'(2) = 12\frac{1}{2}$ и $f'(3) = 27\frac{2}{9}$.

Сравнивая целые части полученных смешанных чисел, видим, что $12 < 27$.

Следовательно, $12\frac{1}{2} < 27\frac{2}{9}$, а значит, $f'(2) < f'(3)$.