Номер 3.60, страница 238 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.60. Решите уравнение $f'(x) = 0$, если:

а) $f(x) = 8x^2 - x$;

б) $f(x) = x^5 - 2x^3 + x$.

Для решения уравнения $f'(x) = 0$ необходимо выполнить два шага: сначала найти производную функции $f(x)$, а затем приравнять полученное выражение к нулю и найти корни уравнения.

а) Дана функция $f(x) = 8x^2 - x$.

1. Находим производную функции. Используем правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и свойство производной разности функций:

$f'(x) = (8x^2 - x)' = (8x^2)' - (x)' = 8 \cdot 2x^{2-1} - 1 \cdot x^{1-1} = 16x - 1$.

2. Приравниваем производную к нулю и решаем полученное линейное уравнение:

$f'(x) = 0$

$16x - 1 = 0$

$16x = 1$

$x = \frac{1}{16}$

Ответ: $x = \frac{1}{16}$.

б) Дана функция $f(x) = x^5 - 2x^3 + x$.

1. Находим производную функции, применяя те же правила:

$f'(x) = (x^5 - 2x^3 + x)' = (x^5)' - (2x^3)' + (x)' = 5x^{4} - 2 \cdot 3x^{2} + 1 = 5x^4 - 6x^2 + 1$.

2. Приравниваем производную к нулю:

$5x^4 - 6x^2 + 1 = 0$

Это биквадратное уравнение. Для его решения введем замену $t = x^2$. Учитывая, что квадрат числа не может быть отрицательным, получаем условие $t \ge 0$.

Уравнение в новых переменных:

$5t^2 - 6t + 1 = 0$

Решаем это квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 36 - 20 = 16 = 4^2$.

Находим корни для $t$:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - 4}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + 4}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$

Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.

3. Выполняем обратную замену для каждого из найденных значений $t$:

• При $t = 1$:
  $x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$.
• При $t = \frac{1}{5}$:
  $x^2 = \frac{1}{5} \Rightarrow x = \pm \sqrt{\frac{1}{5}} = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}$.

Уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $\pm 1; \pm \frac{1}{\sqrt{5}}$.