Номер 3.66, страница 238 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.66. Решите неравенство $f'(x) \leq 0$, если:

$f(x) = (x+7)^2$;

$f(x) = \frac{(x-2)^2}{x-1}$.

Чтобы решить неравенство $f'(x) \le 0$, необходимо для каждой функции найти её производную $f'(x)$, а затем решить полученное неравенство.

а) Для функции $f(x) = (x+7)^2$.

1. Найдём производную функции. Это производная сложной функции, используем формулу $(u^2)'=2u \cdot u'$:

$f'(x) = ((x+7)^2)' = 2(x+7) \cdot (x+7)' = 2(x+7) \cdot 1 = 2x+14$.

2. Теперь решим неравенство $f'(x) \le 0$:

$2(x+7) \le 0$

Разделим обе части неравенства на 2:

$x+7 \le 0$

Перенесём 7 в правую часть, изменив знак:

$x \le -7$

Таким образом, решением неравенства является числовой промежуток $(-\infty, -7]$.

Ответ: $x \in (-\infty, -7]$.

б) Для функции $f(x) = \frac{(x-2)^2}{x-1}$.

1. Найдём производную функции, используя правило производной частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Здесь $u(x) = (x-2)^2$ и $v(x) = x-1$.

Производные для них: $u'(x) = 2(x-2)$ и $v'(x) = 1$.

Подставляем в формулу:

$f'(x) = \frac{2(x-2)(x-1) - (x-2)^2 \cdot 1}{(x-1)^2}$

Упростим числитель, вынеся за скобки общий множитель $(x-2)$:

$f'(x) = \frac{(x-2) \cdot [2(x-1) - (x-2)]}{(x-1)^2} = \frac{(x-2)(2x-2-x+2)}{(x-1)^2} = \frac{x(x-2)}{(x-1)^2}$

2. Решим неравенство $f'(x) \le 0$:

$\frac{x(x-2)}{(x-1)^2} \le 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Во-первых, определим область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $(x-1)^2 \neq 0$, что означает $x \neq 1$.

Во-вторых, найдём нули числителя: $x(x-2)=0$, откуда $x=0$ или $x=2$. Эти точки входят в решение, так как неравенство нестрогое.

Нанесём на числовую прямую точки $0, 1, 2$. Точки $0$ и $2$ будут закрашенными, а точка $1$ — выколотой.

Определим знак выражения на полученных интервалах. Знаменатель $(x-1)^2$ всегда положителен (или равен нулю при $x=1$), поэтому знак всей дроби определяется знаком числителя $x(x-2)$.

• Интервал $(-\infty, 0)$: $f'(x) > 0$
• Интервал $(0, 1)$: $f'(x) < 0$
• Интервал $(1, 2)$: $f'(x) < 0$
• Интервал $(2, \infty)$: $f'(x) > 0$

Нас интересуют промежутки, где $f'(x) \le 0$. Это интервалы $(0, 1)$ и $(1, 2)$, а также точки $x=0$ и $x=2$, где производная равна нулю.

Объединив эти результаты, получаем решение: $x \in [0, 1) \cup (1, 2]$.

Ответ: $x \in [0, 1) \cup (1, 2]$.