Номер 3.63, страница 238 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.63. Найдите, при каких значениях переменной производная функции $f(x) = x^4 - \frac{x^2}{2}$ принимает положительные значения.

Задача состоит в том, чтобы найти все значения переменной $x$, при которых производная функции $f(x) = x^4 - \frac{x^2}{2}$ является положительной. Это эквивалентно решению неравенства $f'(x) > 0$.

1. Нахождение производной функции.

Для нахождения производной $f'(x)$ воспользуемся правилами дифференцирования:

• Производная степенной функции: $(x^n)' = nx^{n-1}$
• Производная разности: $(u-v)' = u' - v'$

Применим эти правила к нашей функции:

$f'(x) = \left(x^4 - \frac{x^2}{2}\right)' = (x^4)' - \left(\frac{1}{2}x^2\right)' = 4x^{4-1} - \frac{1}{2} \cdot 2x^{2-1} = 4x^3 - x$

2. Решение неравенства $f'(x) > 0$.

Теперь решим неравенство, подставив найденную производную:

$4x^3 - x > 0$

Для решения этого неравенства разложим его левую часть на множители. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(4x^2 - 1) > 0$

Выражение в скобках $4x^2 - 1$ является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x(2x - 1)(2x + 1) > 0$

3. Метод интервалов.

Чтобы решить полученное неравенство, используем метод интервалов. Сначала найдем корни левой части, приравняв ее к нулю:

$x(2x - 1)(2x + 1) = 0$

Корни этого уравнения:

• $x_1 = 0$
• $2x - 1 = 0 \implies x_2 = \frac{1}{2}$
• $2x + 1 = 0 \implies x_3 = -\frac{1}{2}$

Нанесем эти точки на числовую ось, расположив их в порядке возрастания: $-\frac{1}{2}$, $0$, $\frac{1}{2}$. Эти точки делят ось на четыре интервала. Определим знак выражения $x(2x - 1)(2x + 1)$ в каждом из интервалов:

• Интервал $(\frac{1}{2}, +\infty)$: Возьмем $x=1$. $1 \cdot (2 \cdot 1 - 1) \cdot (2 \cdot 1 + 1) = 1 \cdot 1 \cdot 3 = 3 > 0$. Знак «+».
• Интервал $(0, \frac{1}{2})$: Возьмем $x=0.1$. $0.1 \cdot (2 \cdot 0.1 - 1) \cdot (2 \cdot 0.1 + 1) = 0.1 \cdot (-0.8) \cdot (1.2) < 0$. Знак «−».
• Интервал $(-\frac{1}{2}, 0)$: Возьмем $x=-0.1$. $-0.1 \cdot (2 \cdot (-0.1) - 1) \cdot (2 \cdot (-0.1) + 1) = (-0.1) \cdot (-1.2) \cdot (0.8) > 0$. Знак «+».
• Интервал $(-\infty, -\frac{1}{2})$: Возьмем $x=-1$. $-1 \cdot (2 \cdot (-1) - 1) \cdot (2 \cdot (-1) + 1) = (-1) \cdot (-3) \cdot (-1) < 0$. Знак «−».

Нас интересуют интервалы, где выражение положительно (знак «+»). Это интервалы $(-\frac{1}{2}, 0)$ и $(\frac{1}{2}, +\infty)$.

Ответ: Производная функции принимает положительные значения при $x \in (-\frac{1}{2}; 0) \cup (\frac{1}{2}; +\infty)$.