Номер 3.59, страница 238 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.59. Производная функции $f(x)=-\frac{1}{12}x^3$ в некоторой точке $x_0$ равна -0,25. Найдите $f(x_0)$.

Для решения задачи необходимо выполнить три основных шага: найти общую формулу производной для данной функции, использовать её для нахождения точки (или точек) $x_0$, и затем вычислить значение функции в этих точках.

1. Нахождение производной функции $f(x)$

Дана функция $f(x) = -\frac{1}{12}x^3$.

Для нахождения её производной $f'(x)$ воспользуемся правилом дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правилом вынесения константы за знак производной $(cf(x))' = c \cdot f'(x)$.

$f'(x) = \left(-\frac{1}{12}x^3\right)' = -\frac{1}{12} \cdot (x^3)' = -\frac{1}{12} \cdot 3x^{3-1} = -\frac{3}{12}x^2$.

Сократим полученную дробь:

$f'(x) = -\frac{1}{4}x^2$.

2. Нахождение точки $x_0$

По условию задачи, производная функции в некоторой точке $x_0$ равна $-0,25$. Запишем это как уравнение:

$f'(x_0) = -0,25$.

Подставим в это уравнение найденное выражение для производной:

$-\frac{1}{4}x_0^2 = -0,25$.

Представим десятичную дробь $-0,25$ в виде обыкновенной дроби: $-0,25 = -\frac{25}{100} = -\frac{1}{4}$.

Уравнение принимает вид:

$-\frac{1}{4}x_0^2 = -\frac{1}{4}$.

Умножим обе части уравнения на $-4$:

$x_0^2 = 1$.

Это уравнение имеет два решения:

$x_0 = 1$ и $x_0 = -1$.

3. Вычисление значения функции $f(x_0)$

Теперь необходимо найти значение исходной функции $f(x) = -\frac{1}{12}x^3$ для каждого из найденных значений $x_0$.

Случай 1: $x_0 = 1$

$f(1) = -\frac{1}{12}(1)^3 = -\frac{1}{12} \cdot 1 = -\frac{1}{12}$.

Случай 2: $x_0 = -1$

$f(-1) = -\frac{1}{12}(-1)^3 = -\frac{1}{12} \cdot (-1) = \frac{1}{12}$.

Таким образом, условию задачи удовлетворяют две точки, и, соответственно, есть два возможных значения для $f(x_0)$.

Ответ: $f(x_0)$ равно $-\frac{1}{12}$ или $\frac{1}{12}$.