Номер 3.65, страница 238 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.65. Примените формулу квадрата разности для нахождения производной функции $f(x) = (5x - 9)^2$ и сравните $f'(1)$ и $f'(\sqrt{5})$.

Для решения данной задачи необходимо выполнить два основных действия: сначала найти производную указанной функции, предварительно раскрыв скобки по формуле квадрата разности, а затем вычислить значения этой производной в заданных точках и сравнить их.

Применение формулы квадрата разности и нахождение производной функции $f(x) = (5x-9)^2$

1. Исходная функция: $f(x) = (5x-9)^2$.

2. Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В данном случае $a = 5x$ и $b = 9$.

Подставляем наши значения в формулу:

$f(x) = (5x)^2 - 2 \cdot (5x) \cdot 9 + 9^2$

$f(x) = 25x^2 - 90x + 81$

3. Теперь, когда функция представлена в виде многочлена, найдем ее производную $f'(x)$. Используем правила дифференцирования: $(x^n)' = nx^{n-1}$, $(c \cdot u(x))' = c \cdot u'(x)$ и $(C)' = 0$, где $C$ - константа.

$f'(x) = (25x^2 - 90x + 81)' = (25x^2)' - (90x)' + (81)'$

$f'(x) = 25 \cdot (x^2)' - 90 \cdot (x)' + 0$

$f'(x) = 25 \cdot 2x - 90 \cdot 1$

$f'(x) = 50x - 90$

Ответ: Производная функции $f(x)$ равна $f'(x) = 50x - 90$.

Сравнение $f'(1)$ и $f'(\sqrt{5})$

1. Вычислим значение производной в точке $x=1$:

$f'(1) = 50 \cdot 1 - 90 = 50 - 90 = -40$

2. Вычислим значение производной в точке $x=\sqrt{5}$:

$f'(\sqrt{5}) = 50 \cdot \sqrt{5} - 90$

3. Теперь сравним полученные значения: $f'(1) = -40$ и $f'(\sqrt{5}) = 50\sqrt{5} - 90$.

Для сравнения чисел $-40$ и $50\sqrt{5} - 90$ можно к обеим частям неравенства прибавить 90. Знак неравенства при этом не изменится.

$-40 + 90$ ? $50\sqrt{5} - 90 + 90$

$50$ ? $50\sqrt{5}$

Теперь разделим обе части на 50 (положительное число):

$1$ ? $\sqrt{5}$

Поскольку $5 > 1$, то и $\sqrt{5} > \sqrt{1}$, следовательно $\sqrt{5} > 1$.

Это означает, что на каждом шаге сравнения знак был ">" в правой части. Таким образом:

$50\sqrt{5} - 90 > -40$

Значит, $f'(\sqrt{5}) > f'(1)$.

Ответ: $f'(\sqrt{5}) > f'(1)$.