Номер 3.70, страница 239 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.70. Найдите значение выражения $ \frac{5^{-1} \cdot 3^{-1} \cdot (0,4)^{-2}}{6-\left(\frac{1}{3}\right)^{-1}} $.

Для того чтобы найти значение данного выражения, необходимо выполнить вычисления по шагам, упрощая числитель и знаменатель по отдельности.

Выражение: $\frac{5^{-1} \cdot 3^{-1} \cdot (0,4)^{-2}}{6 - \left(\frac{1}{3}\right)^{-1}}$

1. Упрощение числителя: $5^{-1} \cdot 3^{-1} \cdot (0,4)^{-2}$

Используем свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$5^{-1} = \frac{1}{5}$

$3^{-1} = \frac{1}{3}$

Преобразуем десятичную дробь $0,4$ в обыкновенную:

$0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

Теперь возведем эту дробь в степень $-2$, используя свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:

$(0,4)^{-2} = \left(\frac{2}{5}\right)^{-2} = \left(\frac{5}{2}\right)^{2} = \frac{5^2}{2^2} = \frac{25}{4}$

Перемножим все полученные значения в числителе:

$5^{-1} \cdot 3^{-1} \cdot (0,4)^{-2} = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{25}{4} = \frac{1 \cdot 1 \cdot 25}{5 \cdot 3 \cdot 4} = \frac{25}{60}$

Сократим полученную дробь:

$\frac{25}{60} = \frac{5 \cdot 5}{12 \cdot 5} = \frac{5}{12}$

2. Упрощение знаменателя: $6 - \left(\frac{1}{3}\right)^{-1}$

Вычислим значение степени:

$\left(\frac{1}{3}\right)^{-1} = 3^1 = 3$

Найдем значение знаменателя:

$6 - 3 = 3$

3. Деление числителя на знаменатель

Теперь разделим результат, полученный для числителя, на результат, полученный для знаменателя:

$\frac{\frac{5}{12}}{3} = \frac{5}{12 \cdot 3} = \frac{5}{36}$

Полученная дробь $\frac{5}{36}$ является правильной, поэтому у нее нет целой части для выделения (или целая часть равна 0).

Ответ: $\frac{5}{36}$.