Номер 3.75, страница 239 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.75. Для функции $y=(x-1)^2 - 5$ найдите:

а) наименьшее значение;

б) промежуток возрастания.

Заданная функция $y = (x-1)^2 - 5$ является квадратичной. Её график — это парабола. Уравнение функции представлено в вершинной форме $y = a(x-h)^2 + k$, где точка $(h, k)$ является вершиной параболы.

Из уравнения $y = (x-1)^2 - 5$ мы можем определить параметры:

• $a = 1$
• $h = 1$
• $k = -5$

Следовательно, вершина параболы находится в точке с координатами $(1, -5)$. Поскольку коэффициент $a=1$ положителен ($a > 0$), ветви параболы направлены вверх.

а) наименьшее значение;
Так как ветви параболы направлены вверх, наименьшее значение функции достигается в её вершине. Это значение равно ординате (координате y) вершины.
Значение $y$ в вершине равно $k = -5$.
Можно также рассуждать следующим образом: выражение $(x-1)^2$ всегда неотрицательно, то есть $(x-1)^2 \ge 0$. Его наименьшее значение равно 0 и достигается при $x=1$. Соответственно, наименьшее значение всей функции $y = (x-1)^2 - 5$ будет равно $0 - 5 = -5$.
Ответ: -5.

б) промежуток возрастания.
Для параболы с ветвями, направленными вверх, функция убывает слева от вершины и возрастает справа от неё. Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая, проходящая через вершину, $x = h$. В данном случае ось симметрии — $x=1$.
Функция возрастает на промежутке, где значения $x$ больше или равны абсциссе вершины.
Таким образом, промежуток возрастания функции: $x \ge 1$. В виде интервала это записывается как $[1, +\infty)$.
Ответ: $[1, +\infty)$.