вопрос 1, страница 251 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1. Если производная в точке функции $y = f(x)$ равна: а) 2; б) -1; в) 0; г) 0,1, — то угол, который образует касательная к графику функции в этой точке:

1) тупой; 2) острый; 3) прямой; 4) равен нулю.

Выберите правильные ответы.

Геометрический смысл производной функции $y=f(x)$ в точке $x_0$ заключается в том, что ее значение, $f'(x_0)$, равно угловому коэффициенту $k$ касательной к графику функции в этой точке. Угловой коэффициент, в свою очередь, равен тангенсу угла $\alpha$, который образует касательная с положительным направлением оси Ox:

$f'(x_0) = k = \tan(\alpha)$

Взаимосвязь между знаком производной и типом угла $\alpha$ (где $0 \le \alpha < 180^\circ$):

• Если производная положительна ($f'(x_0) > 0$), то $\tan(\alpha) > 0$. Это означает, что угол $\alpha$ острый (соответствует варианту 2).
• Если производная отрицательна ($f'(x_0) < 0$), то $\tan(\alpha) < 0$. Это означает, что угол $\alpha$ тупой (соответствует варианту 1).
• Если производная равна нулю ($f'(x_0) = 0$), то $\tan(\alpha) = 0$. Это означает, что угол $\alpha$ равен нулю (соответствует варианту 4).
• Для прямого угла (вариант 3) тангенс не определен ($\alpha=90^\circ$), что означает, что производная в этой точке не существует (касательная вертикальна).

Исходя из этого, сопоставим заданные значения производной с типами углов:

а) Производная равна 2. Поскольку $2 > 0$, угол, образуемый касательной, — острый. Ответ: 2

б) Производная равна -1. Поскольку $-1 < 0$, угол, образуемый касательной, — тупой. Ответ: 1

в) Производная равна 0. Поскольку производная равна нулю, угол, образуемый касательной, равен нулю. Ответ: 4

г) Производная равна 0,1. Поскольку $0.1 > 0$, угол, образуемый касательной, — острый. Ответ: 2