Номер 3.79, страница 252 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.79. На рисунке 147 изображен график функции $y = f(x)$. Укажите несколько точек, в которых касательная к графику данной функции образует с осью абсцисс:

а) острый угол;

б) тупой угол.

В каких точках касательная к графику данной функции параллельна оси абсцисс?

Рис. 147

Угол, который касательная к графику функции образует с положительным направлением оси абсцисс ($Ox$), определяется знаком производной функции в точке касания. Значение производной $f'(x_0)$ равно тангенсу этого угла: $f'(x_0) = \tan(\alpha)$.

• Если угол $\alpha$ острый ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$), то $\tan(\alpha) > 0$, следовательно, $f'(x_0) > 0$. Это происходит на интервалах, где функция возрастает.
• Если угол $\alpha$ тупой ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$), то $\tan(\alpha) < 0$, следовательно, $f'(x_0) < 0$. Это происходит на интервалах, где функция убывает.
• Если касательная параллельна оси абсцисс, то угол $\alpha = 0^\circ$, и $\tan(\alpha) = 0$, следовательно, $f'(x_0) = 0$. Это происходит в точках локальных экстремумов (максимумов и минимумов).

Анализируя график, находим соответствующие точки.

а) острый угол;
Касательная образует острый угол с осью абсцисс там, где функция возрастает. На графике это происходит на промежутках $(-\infty; -4)$ и $(3; +\infty)$. Можно выбрать любые точки из этих интервалов, например, точки с абсциссами $x = -5$ или $x = 5$.
Ответ: например, в точках с абсциссами $x = -6$, $x = -5$, $x = 4$, $x = 5$.

б) тупой угол.
Касательная образует тупой угол с осью абсцисс там, где функция убывает. На графике это происходит на промежутке $(-4; 3)$. Можно выбрать любые точки из этого интервала, например, точки с абсциссами $x = -2$ или $x = 1$.
Ответ: например, в точках с абсциссами $x = -2$, $x = 0$, $x = 1$.

В каких точках касательная к графику данной функции параллельна оси абсцисс?
Касательная параллельна оси абсцисс в точках экстремума, где производная равна нулю. На графике это точка локального максимума (вершина "холма") и точка локального минимума (дно "впадины").
Точка максимума имеет абсциссу $x = -4$.
Точка минимума имеет абсциссу $x = 3$.
Ответ: в точках с абсциссами $x = -4$ и $x = 3$.