Номер 3.74, страница 239 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.74. Выясните, четной или нечетной является функция $f(x)=\frac{\cos 3x}{x^2+2}$.

Чтобы выяснить, является ли функция четной или нечетной, необходимо проверить выполнение следующих условий на симметричной относительно нуля области определения:

• Функция $f(x)$ является четной, если выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.
• Функция $f(x)$ является нечетной, если выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Рассмотрим заданную функцию $f(x) = \frac{\cos(3x)}{x^2 + 2}$.

1. Найдем область определения функции.
Знаменатель дроби $x^2 + 2$ не обращается в нуль ни при каких действительных значениях $x$, так как $x^2 \ge 0$, а значит $x^2 + 2 \ge 2$.
Следовательно, область определения функции — все действительные числа, то есть $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Эта область симметрична относительно начала координат.

2. Найдем значение функции в точке $-x$.
Подставим $-x$ вместо $x$ в формулу функции: $$f(-x) = \frac{\cos(3(-x))}{(-x)^2 + 2}$$

3. Упростим полученное выражение.
Воспользуемся свойствами функций:

• Функция косинус является четной, поэтому $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$. Следовательно, $\cos(3(-x)) = \cos(-3x) = \cos(3x)$.
• Квадрат числа не зависит от его знака: $(-x)^2 = x^2$.

Подставив эти результаты в выражение для $f(-x)$, получаем: $$f(-x) = \frac{\cos(3x)}{x^2 + 2}$$

4. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$.
Мы видим, что полученное выражение для $f(-x)$ полностью совпадает с исходной функцией $f(x)$:

$$f(-x) = f(x)$$

Так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$, данная функция является четной.

Ответ: функция является четной.