Номер 3.76, страница 239 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.76. Сравните $f(-2\sqrt[4]{3})$ и $f(-3\sqrt[4]{3})$, если $f(x) = \frac{9}{x}$.

Для того чтобы сравнить значения функции $f(x) = \frac{9}{x}$ в заданных точках, мы можем вычислить значение функции для каждого аргумента и затем сравнить полученные результаты. Также можно было бы использовать свойства монотонности функции, но прямой расчет в данном случае также нагляден и позволяет выполнить все требования к формату ответа.

f($-2\sqrt[4]{3}$)
Подставим значение аргумента $x = -2\sqrt[4]{3}$ в формулу функции $f(x) = \frac{9}{x}$:
$f(-2\sqrt[4]{3}) = \frac{9}{-2\sqrt[4]{3}} = -\frac{9}{2\sqrt[4]{3}}$.
Для удобства дальнейшего сравнения избавимся от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на $(\sqrt[4]{3})^3 = \sqrt[4]{27}$:
$-\frac{9 \cdot \sqrt[4]{27}}{2\sqrt[4]{3} \cdot \sqrt[4]{27}} = -\frac{9\sqrt[4]{27}}{2\sqrt[4]{3^4}} = -\frac{9\sqrt[4]{27}}{2 \cdot 3} = -\frac{3\sqrt[4]{27}}{2}$.
Теперь выделим целую часть из неправильной дроби в коэффициенте $-\frac{3}{2}$:
$-\frac{3}{2}\sqrt[4]{27} = -1\frac{1}{2}\sqrt[4]{27}$.
Ответ: $f(-2\sqrt[4]{3}) = -1\frac{1}{2}\sqrt[4]{27}$.

f($-3\sqrt[4]{3}$)
Аналогично, подставим $x = -3\sqrt[4]{3}$ в формулу функции:
$f(-3\sqrt[4]{3}) = \frac{9}{-3\sqrt[4]{3}} = -\frac{3}{\sqrt[4]{3}}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе:
$-\frac{3 \cdot \sqrt[4]{27}}{\sqrt[4]{3} \cdot \sqrt[4]{27}} = -\frac{3\sqrt[4]{27}}{\sqrt[4]{3^4}} = -\frac{3\sqrt[4]{27}}{3} = -\sqrt[4]{27}$.
Ответ: $f(-3\sqrt[4]{3}) = -\sqrt[4]{27}$.

Итоговое сравнение

Теперь сравним полученные выражения: $-1\frac{1}{2}\sqrt[4]{27}$ и $-\sqrt[4]{27}$.
Поскольку общий множитель $\sqrt[4]{27}$ является положительным числом, знак неравенства определяется сравнением коэффициентов $-1\frac{1}{2}$ и $-1$.
Так как $-1\frac{1}{2} < -1$ (или $-1.5 < -1$), то и $-1\frac{1}{2}\sqrt[4]{27} < -\sqrt[4]{27}$.
Следовательно, мы приходим к окончательному выводу:

$f(-2\sqrt[4]{3}) < f(-3\sqrt[4]{3})$