Номер 3.80, страница 252 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.80. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $x_0 = 1$, если: Рис. 147

a) $f(x) = x^3 - 3x^2;$

б) $f(x) = 2x^2 - \frac{1}{x};$

в) $f(x) = \frac{2x - 1}{x + 1}.$

Геометрический смысл производной заключается в том, что значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ равно тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Таким образом, чтобы найти тангенс угла наклона, нам нужно найти производную функции $f'(x)$ и вычислить ее значение в точке $x_0 = 1$.

a) Дана функция $f(x) = x^3 - 3x^2$.
1. Найдем производную функции, используя правила дифференцирования степенной функции и суммы/разности функций:
$f'(x) = (x^3 - 3x^2)' = (x^3)' - (3x^2)' = 3x^{3-1} - 3 \cdot 2x^{2-1} = 3x^2 - 6x$.
2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:
$f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = 3 \cdot 1 - 6 = 3 - 6 = -3$.
Ответ: -3.

б) Дана функция $f(x) = 2x^2 - \frac{1}{x}$.
1. Для удобства дифференцирования представим функцию в виде $f(x) = 2x^2 - x^{-1}$. Найдем ее производную:
$f'(x) = (2x^2 - x^{-1})' = (2x^2)' - (x^{-1})' = 2 \cdot 2x - (-1)x^{-1-1} = 4x + x^{-2} = 4x + \frac{1}{x^2}$.
2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:
$f'(1) = 4(1) + \frac{1}{1^2} = 4 + 1 = 5$.
Ответ: 5.

в) Дана функция $f(x) = \frac{2x - 1}{x + 1}$.
1. Найдем производную, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$f'(x) = \frac{(2x-1)'(x+1) - (2x-1)(x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{2(x+1) - (2x-1) \cdot 1}{(x+1)^2}$.
Раскроем скобки в числителе:
$f'(x) = \frac{2x + 2 - 2x + 1}{(x+1)^2} = \frac{3}{(x+1)^2}$.
2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:
$f'(1) = \frac{3}{(1+1)^2} = \frac{3}{2^2} = \frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{3}{4}$.