Номер 3.83, страница 252 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.83. Верно ли, что касательная к графику функции $f(x) = \frac{3x - 2}{x + 1}$ в точке $x_0 = 1$ составляет тупой угол с осью абсцисс?

Чтобы определить, является ли угол между касательной и осью абсцисс тупым, необходимо найти знак углового коэффициента касательной в заданной точке. Угловой коэффициент $k$ касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, то есть $k = f'(x_0)$.

• Если $k > 0$, то касательная образует с положительным направлением оси абсцисс острый угол.
• Если $k < 0$, то касательная образует тупой угол.

1. Найдем производную функции $f(x) = \frac{3x - 2}{x + 1}$, используя правило дифференцирования частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: $$ f'(x) = \frac{(3x - 2)'(x + 1) - (3x - 2)(x + 1)'}{(x + 1)^2} $$ $$ f'(x) = \frac{3(x + 1) - (3x - 2) \cdot 1}{(x + 1)^2} $$ $$ f'(x) = \frac{3x + 3 - 3x + 2}{(x + 1)^2} $$ $$ f'(x) = \frac{5}{(x + 1)^2} $$

2. Теперь вычислим угловой коэффициент касательной в точке $x_0 = 1$: $$ k = f'(1) = \frac{5}{(1 + 1)^2} = \frac{5}{2^2} = \frac{5}{4} $$

3. Угловой коэффициент $k = \frac{5}{4}$ является положительным числом. Это означает, что касательная к графику функции в точке $x_0 = 1$ составляет с осью абсцисс острый угол. Таким образом, исходное утверждение неверно.

Ответ: неверно. Угловой коэффициент касательной $k = \frac{5}{4} = \mathbf{1}\frac{1}{4}$. Так как он положителен, угол является острым.