Номер 3.86, страница 252 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.86. Определите последовательность действий и составьте уравнение касательной к графику функции $f(x) = \frac{2}{x-1}$ в точке $x_0 = -1$.

Для составления уравнения касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ используется общая формула:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

В соответствии с заданием, сначала определим последовательность действий, а затем составим уравнение.

Последовательность действий:

1. Найти значение функции в точке касания, то есть вычислить $f(x_0)$.
2. Найти производную функции $f'(x)$.
3. Найти значение производной в точке касания, $f'(x_0)$, которое равно угловому коэффициенту касательной.
4. Подставить найденные значения $x_0$, $f(x_0)$ и $f'(x_0)$ в общую формулу уравнения касательной и упростить полученное выражение.

Выполнение действий и составление уравнения для функции $f(x) = \frac{2}{x-1}$ в точке $x_0 = -1$:

1. Нахождение значения функции в точке касания
Подставляем значение $x_0 = -1$ в исходную функцию:$f(x_0) = f(-1) = \frac{2}{-1-1} = \frac{2}{-2} = -1$.
Ответ: $f(-1) = -1$.

2. Нахождение производной функции
Найдем производную функции $f(x) = \frac{2}{x-1}$, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. В данном случае $u=2$, $v=x-1$. Отсюда $u'=0$, $v'=1$.$f'(x) = \frac{0 \cdot (x-1) - 2 \cdot 1}{(x-1)^2} = -\frac{2}{(x-1)^2}$.
Ответ: $f'(x) = -\frac{2}{(x-1)^2}$.

3. Нахождение значения производной в точке касания
Подставим значение $x_0 = -1$ в найденную производную, чтобы найти угловой коэффициент касательной:$f'(x_0) = f'(-1) = -\frac{2}{(-1-1)^2} = -\frac{2}{(-2)^2} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $f'(-1) = -\frac{1}{2}$.

4. Составление уравнения касательной
Теперь подставим все найденные значения: $x_0 = -1$, $f(x_0) = -1$ и $f'(x_0) = -\frac{1}{2}$ в общую формулу уравнения касательной:$y = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)$$y = -1 + (-\frac{1}{2})(x - (-1))$$y = -1 - \frac{1}{2}(x+1)$Раскроем скобки и упростим выражение:$y = -1 - \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$$y = -\frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$
Дробь $-\frac{3}{2}$ является неправильной. Выделим из нее целую часть: $-\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2}$. Таким образом, итоговое уравнение касательной имеет вид:
Ответ: $y = -\frac{1}{2}x - \mathbf{1}\frac{1}{2}$.