Номер 3.93, страница 253 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.93. Определите промежутки возрастания и убывания функции:

a) $f(x) = \frac{x+4}{x}$;

б) $f(x) = \frac{x-5}{2x+3}$.

Для определения промежутков возрастания и убывания функции необходимо найти ее производную и исследовать ее знак. Если производная $f'(x) > 0$ на промежутке, то функция на этом промежутке возрастает. Если $f'(x) < 0$, то функция убывает.

а) Дана функция $f(x) = \frac{x+4}{x}$.

1. Находим область определения функции.
Функция определена для всех значений $x$, кроме тех, при которых знаменатель равен нулю. $x \neq 0$. Область определения: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Находим производную функции.
Используем правило дифференцирования частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$f'(x) = \left(\frac{x+4}{x}\right)' = \frac{(x+4)' \cdot x - (x+4) \cdot (x)'}{x^2} = \frac{1 \cdot x - (x+4) \cdot 1}{x^2} = \frac{x - x - 4}{x^2} = -\frac{4}{x^2}$.

3. Анализируем знак производной.
Числитель производной, $-4$, является отрицательным числом. Знаменатель, $x^2$, является положительным для любого $x$ из области определения ($x \neq 0$). Таким образом, производная $f'(x) = -\frac{4}{x^2}$ отрицательна на всей своей области определения.

Поскольку $f'(x) < 0$ при всех $x \in D(f)$, функция убывает на каждом из промежутков, составляющих ее область определения.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$, промежутков возрастания нет.

б) Дана функция $f(x) = \frac{x-5}{2x+3}$.

1. Находим область определения функции.
Знаменатель не должен быть равен нулю: $2x+3 \neq 0 \Rightarrow 2x \neq -3 \Rightarrow x \neq -\frac{3}{2}$.
Выделим целую часть из неправильной дроби: $-\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2}$.
Область определения: $D(f) = (-\infty; -1\frac{1}{2}) \cup (-1\frac{1}{2}; +\infty)$.

2. Находим производную функции.
Используем правило дифференцирования частного:
$f'(x) = \left(\frac{x-5}{2x+3}\right)' = \frac{(x-5)' \cdot (2x+3) - (x-5) \cdot (2x+3)'}{(2x+3)^2} = \frac{1 \cdot (2x+3) - (x-5) \cdot 2}{(2x+3)^2} = \frac{2x+3 - 2x+10}{(2x+3)^2} = \frac{13}{(2x+3)^2}$.

3. Анализируем знак производной.
Числитель производной, $13$, является положительным числом. Знаменатель, $(2x+3)^2$, является квадратом выражения и положителен для всех $x$ из области определения ($x \neq -1\frac{1}{2}$). Таким образом, производная $f'(x) = \frac{13}{(2x+3)^2}$ положительна на всей своей области определения.

Поскольку $f'(x) > 0$ при всех $x \in D(f)$, функция возрастает на каждом из промежутков, составляющих ее область определения.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -1\frac{1}{2})$ и $(-1\frac{1}{2}; +\infty)$, промежутков убывания нет.