Номер 3.100, страница 254 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.100. Докажите, что функция $f(x) = -x^5 - 4x^3$ не имеет экстремумов.

Для того чтобы доказать, что функция не имеет экстремумов, необходимо найти ее производную и исследовать ее знак. Экстремумы (максимумы и минимумы) могут существовать только в критических точках, то есть в точках, где производная равна нулю или не существует.

1. Нахождение производной функции.

Дана функция: $f(x) = -x^5 - 4x^3$.

Найдем ее первую производную, используя правила дифференцирования:

$f'(x) = (-x^5 - 4x^3)' = -(x^5)' - (4x^3)' = -5x^4 - 4 \cdot 3x^2 = -5x^4 - 12x^2$.

2. Поиск критических точек.

Производная $f'(x) = -5x^4 - 12x^2$ является многочленом, следовательно, она определена для всех действительных чисел $x$. Критические точки могут быть только там, где производная обращается в ноль.

Приравняем производную к нулю:

$f'(x) = 0$

$-5x^4 - 12x^2 = 0$

Вынесем общий множитель $-x^2$ за скобки:

$-x^2(5x^2 + 12) = 0$

Данное уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

1. $-x^2 = 0 \implies x = 0$.
2. $5x^2 + 12 = 0 \implies 5x^2 = -12$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Таким образом, функция имеет только одну критическую точку: $x = 0$.

3. Анализ знака производной.

Согласно достаточному условию экстремума, если при переходе через критическую точку производная меняет знак, то в этой точке существует экстремум. Проверим, меняется ли знак $f'(x)$ при переходе через $x=0$.

Рассмотрим выражение для производной: $f'(x) = -x^2(5x^2 + 12)$.

• Множитель $x^2$ всегда неотрицателен ($x^2 \ge 0$ при любом $x$). Следовательно, множитель $-x^2$ всегда неположителен ($-x^2 \le 0$).
• Множитель $(5x^2 + 12)$ всегда строго положителен, так как $5x^2 \ge 0$, а значит $5x^2 + 12 \ge 12 > 0$.

Произведение неположительного множителя ($-x^2$) и строго положительного множителя ($5x^2 + 12$) всегда будет неположительным. То есть, $f'(x) \le 0$ для всех $x$ из области определения.

При этом $f'(x) = 0$ только при $x=0$. Для всех $x \neq 0$, производная $f'(x)$ строго отрицательна.

Поскольку знак производной не меняется при переходе через критическую точку $x=0$ (она остается отрицательной как слева от нуля, так и справа от него), точка $x=0$ не является точкой экстремума.

Вывод.

Так как единственная критическая точка функции $x=0$ не является точкой экстремума, а других критических точек не существует, то функция $f(x) = -x^5 - 4x^3$ не имеет экстремумов на всей своей области определения, что и требовалось доказать.