Номер 3.102, страница 254 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.102. Найдите промежутки монотонности и точки экстремума функции:

а) $f(x) = 12x - x^3$;

б) $f(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 - 3x + 1$.

а) $f(x) = 12x - x^3$

Для нахождения промежутков монотонности и точек экстремума функции необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции.

$f'(x) = (12x - x^3)' = 12 - 3x^2$

Область определения функции и её производной — все действительные числа ($D(f) = D(f') = R$).

2. Найти критические точки.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки:

$f'(x) = 0 \implies 12 - 3x^2 = 0$

$3x^2 = 12$

$x^2 = 4$

$x_1 = -2$, $x_2 = 2$

3. Определить знаки производной на интервалах.

Критические точки $x=-2$ и $x=2$ разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; -2)$, $(-2; 2)$ и $(2; +\infty)$. Определим знак $f'(x)$ на каждом из этих интервалов.

• На интервале $(-\infty; -2)$: возьмем точку $x=-3$. $f'(-3) = 12 - 3(-3)^2 = 12 - 27 = -15 < 0$. Функция убывает.
• На интервале $(-2; 2)$: возьмем точку $x=0$. $f'(0) = 12 - 3(0)^2 = 12 > 0$. Функция возрастает.
• На интервале $(2; +\infty)$: возьмем точку $x=3$. $f'(3) = 12 - 3(3)^2 = 12 - 27 = -15 < 0$. Функция убывает.

4. Сделать выводы о монотонности и экстремумах.

• Промежутки возрастания (где $f'(x) > 0$): $[-2; 2]$.
• Промежутки убывания (где $f'(x) < 0$): $(-\infty; -2]$ и $[2; +\infty]$.
• В точке $x = -2$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка локального минимума. $x_{min} = -2$.
• В точке $x = 2$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка локального максимума. $x_{max} = 2$.

Найдем значения функции в точках экстремума:

$f_{min} = f(-2) = 12(-2) - (-2)^3 = -24 - (-8) = -16$.

$f_{max} = f(2) = 12(2) - (2)^3 = 24 - 8 = 16$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-2; 2]$, убывает на промежутках $(-\infty; -2]$ и $[2; +\infty)$; точка минимума $x_{min} = -2$, значение функции в этой точке $f_{min} = -16$; точка максимума $x_{max} = 2$, значение функции в этой точке $f_{max} = 16$.

б) $f(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 - 3x + 1$

Действуем по аналогии с предыдущим пунктом.

1. Найти производную функции.

$f'(x) = (\frac{x^3}{3} - x^2 - 3x + 1)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 2x - 3 = x^2 - 2x - 3$

Область определения функции и её производной — все действительные числа ($D(f) = D(f') = R$).

2. Найти критические точки.

Приравняем производную к нулю:

$f'(x) = 0 \implies x^2 - 2x - 3 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета или через дискриминант. Корни уравнения:

$x_1 = -1$, $x_2 = 3$

3. Определить знаки производной на интервалах.

Критические точки $x=-1$ и $x=3$ разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; -1)$, $(-1; 3)$ и $(3; +\infty)$. Определим знак $f'(x)$ на каждом из них.

• На интервале $(-\infty; -1)$: возьмем точку $x=-2$. $f'(-2) = (-2)^2 - 2(-2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5 > 0$. Функция возрастает.
• На интервале $(-1; 3)$: возьмем точку $x=0$. $f'(0) = 0^2 - 2(0) - 3 = -3 < 0$. Функция убывает.
• На интервале $(3; +\infty)$: возьмем точку $x=4$. $f'(4) = 4^2 - 2(4) - 3 = 16 - 8 - 3 = 5 > 0$. Функция возрастает.

4. Сделать выводы о монотонности и экстремумах.

• Промежутки возрастания (где $f'(x) > 0$): $(-\infty; -1]$ и $[3; +\infty]$.
• Промежутки убывания (где $f'(x) < 0$): $[-1; 3]$.
• В точке $x = -1$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка локального максимума. $x_{max} = -1$.
• В точке $x = 3$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка локального минимума. $x_{min} = 3$.

Найдем значения функции в точках экстремума:

$f_{max} = f(-1) = \frac{(-1)^3}{3} - (-1)^2 - 3(-1) + 1 = -\frac{1}{3} - 1 + 3 + 1 = 3 - \frac{1}{3} = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$.

$f_{min} = f(3) = \frac{3^3}{3} - 3^2 - 3(3) + 1 = 9 - 9 - 9 + 1 = -8$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[3; +\infty)$, убывает на промежутке $[-1; 3]$; точка максимума $x_{max} = -1$, значение функции в этой точке $f_{max} = \mathbf{2}\frac{2}{3}$; точка минимума $x_{min} = 3$, значение функции в этой точке $f_{min} = -8$.