Номер 3.108, страница 255 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.108. Определите последовательность действий и найдите, в какой точке графика функции $f(x) = x^2 + 6x + 5$ касательная к графику данной функции наклонена к оси абсцисс под углом $45^\circ$.

Для решения задачи необходимо использовать геометрический смысл производной: значение производной функции в точке касания $x_0$ равно угловому коэффициенту $k$ (тангенсу угла наклона) касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Формула: $k = \tan(\alpha) = f'(x_0)$.

Определите последовательность действий:

Для нахождения искомой точки на графике функции необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти угловой коэффициент касательной $k$, который равен тангенсу заданного угла наклона $\alpha = 45^\circ$.
2. Найти производную $f'(x)$ для данной функции $f(x) = x^2 + 6x + 5$.
3. Приравнять производную $f'(x)$ к найденному угловому коэффициенту $k$ и решить полученное уравнение относительно $x$. Найденное значение $x_0$ будет абсциссой искомой точки.
4. Вычислить ординату искомой точки $y_0$, подставив найденную абсциссу $x_0$ в исходную функцию: $y_0 = f(x_0)$.
5. Записать координаты искомой точки $(x_0, y_0)$.

Ответ: последовательность действий определена в списке выше.

Найдите, в какой точке графика функции $f(x)=x^2+6x+5$ касательная к графику данной функции наклонена к оси абсцисс под углом 45°:

1. Находим угловой коэффициент $k$. Угол наклона $\alpha = 45^\circ$.

$k = \tan(45^\circ) = 1$

2. Находим производную функции $f(x) = x^2 + 6x + 5$.

$f'(x) = (x^2 + 6x + 5)' = 2x + 6$

3. Приравниваем производную к угловому коэффициенту и находим абсциссу $x_0$.

$f'(x_0) = k \implies 2x_0 + 6 = 1$

$2x_0 = 1 - 6$

$2x_0 = -5$

$x_0 = -\frac{5}{2}$

4. Находим ординату $y_0$, подставляя $x_0$ в исходную функцию.

$y_0 = f(-\frac{5}{2}) = (-\frac{5}{2})^2 + 6(-\frac{5}{2}) + 5 = \frac{25}{4} - \frac{30}{2} + 5$

Приводим дроби к общему знаменателю 4:

$y_0 = \frac{25}{4} - \frac{60}{4} + \frac{20}{4} = \frac{25 - 60 + 20}{4} = -\frac{15}{4}$

5. Координаты искомой точки: $(-\frac{5}{2}, -\frac{15}{4})$.

Для финального ответа преобразуем неправильные дроби в смешанные числа, выделив целую часть:

$x_0 = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2}$

$y_0 = -\frac{15}{4} = -3\frac{3}{4}$

Ответ: касательная наклонена к оси абсцисс под углом 45° в точке с координатами $(-2\frac{1}{2}; -3\frac{3}{4})$.