Номер 3.114, страница 255 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.114. Найдите промежутки возрастания функции $f(x) = 5x - \frac{4}{x}$. Можно ли записать промежутки убывания этой функции?

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции $f(x) = 5x - \frac{4}{x}$ необходимо исследовать знак её производной.

1. Найдём область определения функции (D(f)).
Функция содержит дробь, знаменатель которой не может быть равен нулю.
$x \neq 0$
Следовательно, область определения: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Найдём производную функции.
$f'(x) = (5x - \frac{4}{x})' = (5x)' - (4x^{-1})' = 5 - 4(-1)x^{-2} = 5 + 4x^{-2} = 5 + \frac{4}{x^2}$.

3. Проанализируем знак производной.
Выражение $x^2$ всегда положительно для любого $x$ из области определения ($x \neq 0$).
Значит, слагаемое $\frac{4}{x^2}$ также всегда положительно.
Следовательно, производная $f'(x) = 5 + \frac{4}{x^2}$ всегда положительна, так как является суммой двух положительных чисел ($5 > 0$ и $\frac{4}{x^2} > 0$).

Найдите промежутки возрастания функции $f(x) = 5x - \frac{4}{x}$.
Функция возрастает на тех промежутках, где её производная $f'(x) > 0$. Так как мы выяснили, что производная положительна на всей области определения, функция возрастает на каждом из промежутков этой области.
Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

Можно ли записать промежутки убывания этой функции?
Функция убывает на тех промежутках, где её производная $f'(x) < 0$. Поскольку производная $f'(x) = 5 + \frac{4}{x^2}$ всегда положительна, промежутков, где она была бы отрицательна, не существует.
Ответ: нет, записать промежутки убывания для этой функции нельзя.