Номер 3.115, страница 255 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.115. Найдите промежутки убывания функции $f(x) = 1 + x^2 - \frac{x^3}{3} - \frac{3x^4}{4}$.

Для того чтобы найти промежутки убывания функции, необходимо найти её производную и определить интервалы, на которых производная неположительна, то есть $f'(x) \le 0$.

Заданная функция:

1. Нахождение производной функции

Найдем производную $f'(x)$, используя правила дифференцирования:

2. Решение неравенства $f'(x) \le 0$

Теперь нам нужно решить неравенство:

Для решения неравенства методом интервалов найдем корни уравнения $f'(x) = 0$:

Вынесем общий множитель $-x$ за скобки:

Это уравнение распадается на два:

1. $-x = 0 \implies x_1 = 0$
2. $3x^2 + x - 2 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

Корни квадратного уравнения:

Таким образом, мы получили три критические точки: $x = -1$, $x = 0$ и $x = \frac{2}{3}$.

3. Определение знаков производной на интервалах

Отметим точки $-1$, $0$, $\frac{2}{3}$ на числовой прямой. Они разбивают прямую на четыре интервала. Определим знак производной $f'(x) = -3x^3 - x^2 + 2x$ в каждом интервале.

• Интервал $(\frac{2}{3}; +\infty)$: возьмем $x=1$. $f'(1) = -3(1)^3 - (1)^2 + 2(1) = -3 - 1 + 2 = -2 < 0$. Знак "минус".
• Интервал $(0; \frac{2}{3})$: возьмем $x=0.5$. $f'(0.5) = -3(0.5)^3 - (0.5)^2 + 2(0.5) = -3(0.125) - 0.25 + 1 = -0.375 - 0.25 + 1 = 0.375 > 0$. Знак "плюс".
• Интервал $(-1; 0)$: возьмем $x=-0.5$. $f'(-0.5) = -3(-0.5)^3 - (-0.5)^2 + 2(-0.5) = -3(-0.125) - 0.25 - 1 = 0.375 - 0.25 - 1 = -0.875 < 0$. Знак "минус".
• Интервал $(-\infty; -1)$: возьмем $x=-2$. $f'(-2) = -3(-2)^3 - (-2)^2 + 2(-2) = -3(-8) - 4 - 4 = 24 - 8 = 16 > 0$. Знак "плюс".

Функция убывает там, где её производная неположительна ($f'(x) \le 0$). Это соответствует интервалам со знаком "минус". Включаем концы интервалов, так как неравенство нестрогое.

Промежутки убывания: $[-1; 0]$ и $[\frac{2}{3}; +\infty)$.

Ответ: $[-1; 0] \cup [\frac{2}{3}; +\infty)$.