Номер 3.122, страница 256 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.122*. Найдите промежутки возрастания и убывания, а также точки экстремума функции $f(x) = \frac{x^2 + 9}{x}$.

Для того чтобы найти промежутки возрастания и убывания, а также точки экстремума функции $f(x) = \frac{x^2 + 9}{x}$, необходимо провести её полное исследование с помощью производной.

1. Область определения функции.

   Функция представляет собой дробь, знаменатель которой не может быть равен нулю.
   $x \neq 0$
   Таким образом, область определения функции: $D(f) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

2. Нахождение производной функции.

   Для нахождения производной воспользуемся правилом дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
   $f'(x) = \left(\frac{x^2 + 9}{x}\right)' = \frac{(x^2 + 9)' \cdot x - (x^2 + 9) \cdot (x)'}{x^2} = \frac{2x \cdot x - (x^2 + 9) \cdot 1}{x^2} = \frac{2x^2 - x^2 - 9}{x^2} = \frac{x^2 - 9}{x^2}$.

3. Нахождение стационарных и критических точек.

   Критические точки – это внутренние точки области определения, в которых производная равна нулю или не существует.
   1) Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки:
   $f'(x) = 0 \implies \frac{x^2 - 9}{x^2} = 0$.
   Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
   $x^2 - 9 = 0 \implies (x-3)(x+3) = 0$.
   Отсюда получаем две стационарные точки: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$. Обе точки принадлежат области определения функции.
   2) Производная $f'(x) = \frac{x^2 - 9}{x^2}$ не существует при $x^2 = 0$, то есть при $x = 0$. Однако точка $x=0$ не входит в область определения функции, следовательно, не является критической. Эта точка является точкой разрыва и важна для анализа знаков производной.

4. Анализ знаков производной и определение промежутков монотонности.

   Нанесем точки $x=-3$, $x=0$ и $x=3$ на числовую ось. Эти точки разбивают область определения на интервалы: $(-\infty, -3)$, $(-3, 0)$, $(0, 3)$ и $(3, +\infty)$. Определим знак $f'(x)$ на каждом из этих интервалов.
   Знак производной $f'(x)=\frac{x^2-9}{x^2}=\frac{(x-3)(x+3)}{x^2}$ зависит только от знака числителя $(x-3)(x+3)$, так как знаменатель $x^2$ всегда положителен при $x \neq 0$.

   • На интервале $(-\infty, -3)$: возьмем $x=-4$, $f'(-4) = \frac{(-4)^2-9}{(-4)^2} = \frac{7}{16} > 0$, следовательно, функция $f(x)$ возрастает.
   • На интервале $(-3, 0)$: возьмем $x=-1$, $f'(-1) = \frac{(-1)^2-9}{(-1)^2} = -8 < 0$, следовательно, функция $f(x)$ убывает.
   • На интервале $(0, 3)$: возьмем $x=1$, $f'(1) = \frac{1^2-9}{1^2} = -8 < 0$, следовательно, функция $f(x)$ убывает.
   • На интервале $(3, +\infty)$: возьмем $x=4$, $f'(4) = \frac{4^2-9}{4^2} = \frac{7}{16} > 0$, следовательно, функция $f(x)$ возрастает.

На основании проведенного анализа формулируем итоговые выводы.

промежутки возрастания: Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -3]$ и $[3, +\infty)$.

промежутки убывания: Ответ: функция убывает на промежутках $[-3, 0)$ и $(0, 3]$.

точки экстремума: В точке $x=-3$ производная меняет свой знак с «+» на «−», следовательно, это точка локального максимума. Значение функции в этой точке (максимум): $y_{max} = f(-3) = \frac{(-3)^2+9}{-3} = \frac{18}{-3} = -6$. В точке $x=3$ производная меняет свой знак с «−» на «+», следовательно, это точка локального минимума. Значение функции в этой точке (минимум): $y_{min} = f(3) = \frac{3^2+9}{3} = \frac{18}{3} = 6$. Ответ: точка максимума $x_{max} = -3$, точка минимума $x_{min} = 3$.