Номер 3.123, страница 256 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.123. Воспользуйтесь свойствами корней n-й степени и найдите значения выражений $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b}$ и $\sqrt[4]{m} : \sqrt[4]{n}$, если:

а) $a = 25, b = 5, m = 3, n = 243;$

б) $a = 0,27, b = 0,1, m = 0,6, n = 9,6;$

в) $a = 3\frac{4}{7}, b = \frac{5}{49}, m = \frac{5}{8}, n = \frac{2}{125}.$

а) Для вычисления значения выражения $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b}$ воспользуемся свойством произведения корней одинаковой степени: $\sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{x \cdot y}$.
Подставляем заданные значения $a = 25$ и $b = 5$:
$\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{25} \cdot \sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{25 \cdot 5} = \sqrt[3]{125} = 5$.

Для вычисления значения выражения $\sqrt[4]{m} : \sqrt[4]{n}$ воспользуемся свойством частного корней одинаковой степени: $\sqrt[n]{x} : \sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{x/y}$.
Подставляем заданные значения $m = 3$ и $n = 243$:
$\sqrt[4]{m} : \sqrt[4]{n} = \sqrt[4]{3} : \sqrt[4]{243} = \sqrt[4]{\frac{3}{243}} = \sqrt[4]{\frac{1}{81}} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $5$ и $\frac{1}{3}$.

б) Вычисляем значение первого выражения $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b}$ при $a = 0,27$ и $b = 0,1$:
$\sqrt[3]{0,27} \cdot \sqrt[3]{0,1} = \sqrt[3]{0,27 \cdot 0,1} = \sqrt[3]{0,027} = 0,3$.

Вычисляем значение второго выражения $\sqrt[4]{m} : \sqrt[4]{n}$ при $m = 0,6$ и $n = 9,6$:
$\sqrt[4]{0,6} : \sqrt[4]{9,6} = \sqrt[4]{\frac{0,6}{9,6}} = \sqrt[4]{\frac{6}{96}} = \sqrt[4]{\frac{1}{16}} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $0,3$ и $\frac{1}{2}$.

в) Вычисляем значение первого выражения $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b}$ при $a = 3\frac{4}{7}$ и $b = \frac{5}{49}$.
Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $a = 3\frac{4}{7} = \frac{3 \cdot 7 + 4}{7} = \frac{25}{7}$.
$\sqrt[3]{\frac{25}{7}} \cdot \sqrt[3]{\frac{5}{49}} = \sqrt[3]{\frac{25}{7} \cdot \frac{5}{49}} = \sqrt[3]{\frac{125}{343}} = \frac{5}{7}$.

Вычисляем значение второго выражения $\sqrt[4]{m} : \sqrt[4]{n}$ при $m = \frac{5}{8}$ и $n = \frac{2}{125}$.
$\sqrt[4]{\frac{5}{8}} : \sqrt[4]{\frac{2}{125}} = \sqrt[4]{\frac{5}{8} \div \frac{2}{125}} = \sqrt[4]{\frac{5}{8} \cdot \frac{125}{2}} = \sqrt[4]{\frac{625}{16}} = \frac{5}{2}$.
Поскольку $\frac{5}{2}$ — неправильная дробь, выделяем из нее целую часть: $\frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{5}{7}$ и $2\frac{1}{2}$.