вопрос 1, страница 262 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1. Если на некотором промежутке из области определения производная функции $f(x)$ положительна, то:

а) $f(x) > 0$ на этом промежутке;

б) график функции $f(x)$ не пересекает ось абсцисс на этом промежутке;

в) функция $f(x)$ не убывает.

Выберите правильные ответы.

Проанализируем условие задачи. Нам дано, что производная функции $f'(x)$ положительна на некотором промежутке. Согласно достаточному условию возрастания функции, если $f'(x) > 0$ для всех $x$ из некоторого промежутка, то функция $f(x)$ на этом промежутке строго возрастает. Это означает, что для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$.

Теперь рассмотрим каждое утверждение на основе этого вывода.

a) $f(x) > 0$ на этом промежутке;
Это утверждение неверно. Положительная производная говорит о том, что функция возрастает, но ничего не говорит о знаке самой функции. Функция может возрастать, находясь при этом в области отрицательных значений.
Контрпример: рассмотрим функцию $f(x) = x - 10$. Её производная $f'(x) = 1$, что больше нуля ($1 > 0$) при любом $x$. Следовательно, функция всегда возрастает. Однако на промежутке, например, $(0, 5)$, функция возрастает, но ее значения отрицательны ($f(0)=-10$, $f(5)=-5$).
Ответ: неверно.

б) график функции $f(x)$ не пересекает ось абсцисс на этом промежутке;
Это утверждение также неверно. Возрастающая функция вполне может пересекать ось абсцисс (ось $Ox$). Если функция на промежутке принимает и отрицательные, и положительные значения, то, будучи непрерывной, она обязательно пересечет ось абсцисс.
Контрпример: рассмотрим функцию $f(x) = x$ на промежутке $(-1, 1)$. Её производная $f'(x) = 1 > 0$, значит, функция строго возрастает на этом промежутке. Однако в точке $x=0$, которая принадлежит этому промежутку, график функции пересекает ось абсцисс.
Ответ: неверно.

в) функция $f(x)$ не убывает.
Это утверждение верно. Как было установлено, если $f'(x) > 0$, то функция $f(x)$ является строго возрастающей.

• Функция называется неубывающей, если для любых $x_1 < x_2$ из промежутка выполняется неравенство $f(x_1) \le f(x_2)$.
• Функция называется строго возрастающей, если для любых $x_1 < x_2$ из промежутка выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$.

Любая строго возрастающая функция является также и неубывающей, так как условие $f(x_1) < f(x_2)$ автоматически удовлетворяет более слабому условию $f(x_1) \le f(x_2)$. Следовательно, данное утверждение истинно.
Ответ: верно.

Таким образом, единственным правильным ответом является в).