Номер 3.134, страница 263 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.134. Исследуйте функцию и постройте ее график:

a) $f(x) = x^4 - 8x^2 + 8;$

б) $f(x) = 24x^2 + 9x^4 - 2x^6.$

a) Исследуем функцию $f(x) = x^4 - 8x^2 + 8$.

1. Область определения.

   Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел.
   $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность/нечетность.

   Проверим значение функции для $-x$:
   $f(-x) = (-x)^4 - 8(-x)^2 + 8 = x^4 - 8x^2 + 8 = f(x)$.
   Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной. Ее график симметричен относительно оси Oy.

3. Точки пересечения с осями координат.
   • С осью Oy: $x=0 \implies y = f(0) = 0^4 - 8(0)^2 + 8 = 8$. Точка пересечения $(0, 8)$.
   • С осью Ox: $y=0 \implies x^4 - 8x^2 + 8 = 0$.
     Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$.
     $t^2 - 8t + 8 = 0$.
     $D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 64 - 32 = 32$.
     $t_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{8 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 4 \pm 2\sqrt{2}$.
     Оба корня положительны. Возвращаемся к замене:
     $x^2 = 4 - 2\sqrt{2} \implies x_{1,2} = \pm \sqrt{4 - 2\sqrt{2}} \approx \pm 1.08$.
     $x^2 = 4 + 2\sqrt{2} \implies x_{3,4} = \pm \sqrt{4 + 2\sqrt{2}} \approx \pm 2.61$.
     Точки пересечения: $(\pm \sqrt{4 - 2\sqrt{2}}, 0)$ и $(\pm \sqrt{4 + 2\sqrt{2}}, 0)$.
4. Асимптоты.

   Так как функция является многочленом, вертикальных и наклонных асимптот нет.
   $\lim_{x \to \pm\infty} (x^4 - 8x^2 + 8) = +\infty$.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.

   Найдем первую производную:
   $f'(x) = (x^4 - 8x^2 + 8)' = 4x^3 - 16x$.
   Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
   $4x^3 - 16x = 0 \implies 4x(x^2 - 4) = 0 \implies 4x(x-2)(x+2) = 0$.
   Критические точки: $x_1 = -2, x_2 = 0, x_3 = 2$.
   Исследуем знак производной на интервалах:
   - $(-\infty, -2)$: $f'(x) < 0$, функция убывает.
   - $(-2, 0)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.
   - $(0, 2)$: $f'(x) < 0$, функция убывает.
   - $(2, +\infty)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.
   Точка $x=-2$ - точка локального минимума. $f(-2) = (-2)^4 - 8(-2)^2 + 8 = 16 - 32 + 8 = -8$.
   Точка $x=0$ - точка локального максимума. $f(0) = 8$.
   Точка $x=2$ - точка локального минимума. $f(2) = 2^4 - 8(2)^2 + 8 = 16 - 32 + 8 = -8$.
   Экстремумы: минимум в точках $(-2, -8)$ и $(2, -8)$, максимум в точке $(0, 8)$.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.

   Найдем вторую производную:
   $f''(x) = (4x^3 - 16x)' = 12x^2 - 16$.
   Найдем точки, где $f''(x) = 0$:
   $12x^2 - 16 = 0 \implies x^2 = \frac{16}{12} = \frac{4}{3} \implies x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} = \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}$.
   Исследуем знак второй производной:
   - $(-\infty, -2/\sqrt{3})$: $f''(x) > 0$, график вогнутый (выпуклый вниз).
   - $(-2/\sqrt{3}, 2/\sqrt{3})$: $f''(x) < 0$, график выпуклый (выпуклый вверх).
   - $(2/\sqrt{3}, +\infty)$: $f''(x) > 0$, график вогнутый (выпуклый вниз).
   Точки $x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$ являются точками перегиба.
   $f(\pm \frac{2}{\sqrt{3}}) = (\frac{4}{3})^2 - 8(\frac{4}{3}) + 8 = \frac{16}{9} - \frac{32}{3} + 8 = \frac{16 - 96 + 72}{9} = -\frac{8}{9}$.
   Точки перегиба: $(\pm \frac{2\sqrt{3}}{3}, -\frac{8}{9})$.

На основе проведенного анализа можно построить график функции.

• Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
• Функция четная.
• Точки пересечения с осями: $(0, 8)$, $(\pm \sqrt{4 - 2\sqrt{2}}, 0)$, $(\pm \sqrt{4 + 2\sqrt{2}}, 0)$.
• Промежутки возрастания: $(-2, 0) \cup (2, +\infty)$.
• Промежутки убывания: $(-\infty, -2) \cup (0, 2)$.
• Точки экстремума: локальные (и глобальные) минимумы в $(\pm 2, -8)$, локальный максимум в $(0, 8)$.
• Промежутки вогнутости: $(-\infty, -2\sqrt{3}/3) \cup (2\sqrt{3}/3, +\infty)$.
• Промежутки выпуклости: $(-2\sqrt{3}/3, 2\sqrt{3}/3)$.
• Точки перегиба: $(\pm \frac{2\sqrt{3}}{3}, -\frac{8}{9})$.

б) Исследуем функцию $f(x) = 24x^2 + 9x^4 - 2x^6$. Перепишем в порядке убывания степеней: $f(x) = -2x^6 + 9x^4 + 24x^2$.

1. Область определения.

   Функция является многочленом, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность/нечетность.

   $f(-x) = -2(-x)^6 + 9(-x)^4 + 24(-x)^2 = -2x^6 + 9x^4 + 24x^2 = f(x)$.
   Функция четная, ее график симметричен относительно оси Oy.

3. Точки пересечения с осями координат.
   • С осью Oy: $x=0 \implies y = f(0) = 0$. Точка пересечения $(0, 0)$.
   • С осью Ox: $y=0 \implies -2x^6 + 9x^4 + 24x^2 = 0 \implies -x^2(2x^4 - 9x^2 - 24) = 0$.
     Один корень $x=0$.
     Решим $2x^4 - 9x^2 - 24 = 0$. Замена $t = x^2, t \ge 0$.
     $2t^2 - 9t - 24 = 0$.
     $D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-24) = 81 + 192 = 273$.
     $t = \frac{9 \pm \sqrt{273}}{4}$. Так как $t \ge 0$, подходит только $t = \frac{9 + \sqrt{273}}{4}$.
     $x^2 = \frac{9 + \sqrt{273}}{4} \implies x = \pm \sqrt{\frac{9 + \sqrt{273}}{4}} = \pm \frac{\sqrt{9 + \sqrt{273}}}{2} \approx \pm 2.53$.
     Точки пересечения: $(0, 0)$ и $(\pm \frac{\sqrt{9 + \sqrt{273}}}{2}, 0)$.
4. Асимптоты.

   Функция - многочлен, асимптот нет.
   $\lim_{x \to \pm\infty} (-2x^6 + 9x^4 + 24x^2) = -\infty$ (по поведению старшего члена $-2x^6$).

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.

   $f'(x) = -12x^5 + 36x^3 + 48x$.
   $f'(x) = 0 \implies -12x(x^4 - 3x^2 - 4) = 0$.
   Один корень $x=0$. Решим $x^4 - 3x^2 - 4 = 0$. Замена $u=x^2, u \ge 0$.
   $u^2 - 3u - 4 = 0 \implies (u-4)(u+1) = 0$. Подходит $u=4$.
   $x^2 = 4 \implies x = \pm 2$.
   Критические точки: $x_1 = -2, x_2 = 0, x_3 = 2$.
   Исследуем знак $f'(x) = -12x(x-2)(x+2)(x^2+1)$ на интервалах:
   - $(-\infty, -2)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.
   - $(-2, 0)$: $f'(x) < 0$, функция убывает.
   - $(0, 2)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.
   - $(2, +\infty)$: $f'(x) < 0$, функция убывает.
   Точка $x=-2$ - точка локального максимума. $f(-2) = -2(64) + 9(16) + 24(4) = -128 + 144 + 96 = 112$.
   Точка $x=0$ - точка локального минимума. $f(0) = 0$.
   Точка $x=2$ - точка локального максимума. $f(2) = 112$.
   Экстремумы: минимумы в $(0, 0)$, максимумы в $(\pm 2, 112)$.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.

   $f''(x) = -60x^4 + 108x^2 + 48$.
   $f''(x) = 0 \implies -12(5x^4 - 9x^2 - 4) = 0 \implies 5x^4 - 9x^2 - 4 = 0$.
   Замена $v = x^2, v \ge 0 \implies 5v^2 - 9v - 4 = 0$.
   $v = \frac{9 + \sqrt{81 - 4(5)(-4)}}{10} = \frac{9 + \sqrt{161}}{10}$.
   Точки перегиба при $x^2 = \frac{9 + \sqrt{161}}{10}$, т.е. $x_{1,2} = \pm \sqrt{\frac{9 + \sqrt{161}}{10}} \approx \pm 1.47$.
   Исследуем знак $f''(x) = -12(5(x^2 - \frac{9+\sqrt{161}}{10})(x^2 - \frac{9-\sqrt{161}}{10}))$. Множитель $(x^2 - \frac{9-\sqrt{161}}{10})$ всегда положителен.
   - При $|x| < \sqrt{\frac{9 + \sqrt{161}}{10}}$, $f''(x) > 0$, график вогнутый.
   - При $|x| > \sqrt{\frac{9 + \sqrt{161}}{10}}$, $f''(x) < 0$, график выпуклый.
   Значение функции в точках перегиба: $y = f(\pm \sqrt{\frac{9 + \sqrt{161}}{10}}) \approx 73.97$. Точки перегиба: $(\pm \sqrt{\frac{9 + \sqrt{161}}{10}}, \frac{8307 + 803\sqrt{161}}{250})$.

На основе проведенного анализа можно построить график функции.

• Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
• Функция четная.
• Точки пересечения с осями: $(0, 0)$ и $(\pm \frac{\sqrt{9 + \sqrt{273}}}{2}, 0)$.
• Промежутки возрастания: $(-\infty, -2) \cup (0, 2)$.
• Промежутки убывания: $(-2, 0) \cup (2, +\infty)$.
• Точки экстремума: локальный минимум в $(0, 0)$, локальные (и глобальные) максимумы в $(\pm 2, 112)$.
• Промежутки вогнутости: $(-\sqrt{\frac{9+\sqrt{161}}{10}}, \sqrt{\frac{9+\sqrt{161}}{10}})$.
• Промежутки выпуклости: $(-\infty, -\sqrt{\frac{9+\sqrt{161}}{10}}) \cup (\sqrt{\frac{9+\sqrt{161}}{10}}, +\infty)$.
• Точки перегиба: $(\pm \sqrt{\frac{9 + \sqrt{161}}{10}}, \frac{8307 + 803\sqrt{161}}{250}) \approx (\pm 1.47, 73.97)$.